Détermination de la constante de vitesse
Comprendre la Détermination de la constante de vitesse
Lors d’un projet de recherche en laboratoire, vous êtes chargé de déterminer la constante de vitesse d’une réaction chimique où le composé A se décompose en produit B. La réaction est de premier ordre et vous avez collecté les données suivantes lors de l’expérience, où la concentration de A a été mesurée à différents temps :
| Temps (heures) | Concentration de A (mol/L) |
|---|---|
| 0 | 1.00 |
| 1 | 0.75 |
| 2 | 0.56 |
| 3 | 0.42 |
| 4 | 0.32 |
Questions:
1. Tracé du graphique ln[A] en fonction du temps :
- Calculez le logarithme naturel de la concentration de A à chaque point de mesure.
- Tracez le graphique de ln[A] en fonction du temps.
2. Détermination de la constante de vitesse \(k\):
- Utilisez la méthode des moindres carrés pour déterminer la pente de la droite obtenue dans le graphique précédent. Cette pente représente la constante de vitesse \(k\) de la réaction.
- Calculez \(k\) et exprimez-le en unités appropriées.
3. Analyse :
- Interprétez la signification de la constante de vitesse \(k\) trouvée.
- Discutez l’effet potentiel de la température sur la constante de vitesse, en supposant que la température pourrait varier dans un contexte expérimental réel.
Correction : Détermination de la constante de vitesse
1. Tracé du graphique ln[A] en fonction du temps
Calcul du logarithme naturel de la concentration de A
Pour chaque point de mesure, calculez ln[A] (logarithme naturel de la concentration) :
| Temps t (h) | [A] (mol/L) | \(\ln[A]\) |
|---|---|---|
| 0 | 1.00 | \(\ln(1.00)=0\) |
| 1 | 0.75 | \(\ln(0.75)\approx -0.28768\) |
| 2 | 0.56 | \(\ln(0.56)\approx -0.57982\) |
| 3 | 0.42 | \(\ln(0.42)\approx -0.86750\) |
| 4 | 0.32 | \(\ln(0.32)\approx -1.13943\) |
Création du graphique
Le graphique de ln[A] en fonction du temps montre une tendance linéaire décroissante si la réaction est d’ordre un. Vous pouvez utiliser un logiciel ou un graphique papier pour tracer ces points.
2. Détermination de la constante de vitesse \( k \)
Nous utilisons la méthode de régression linéaire pour obtenir la pente de la droite tracée.
a) Formule de la pente
La pente \( m \) est calculée avec la formule :
\[m = \frac{N\sum (t\,\ln[A]) – \sum t\,\sum \ln[A]}{N\sum t^2 – \left(\sum t\right)^2}\]
où \( N = 5 \) (nombre de points).
b) Calcul des sommes nécessaires
- Calcul de la somme des temps :
\[\sum t = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10\]
- Calcul de la somme des carrés des temps :
\[\sum t^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2\]
\[\sum t^2 = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30\]
- Somme des \(\ln[A]\) :
\[\sum \ln[A] = 0 – 0.28768 – 0.57982 – 0.86750 – 1.13943\]
\[\sum \ln[A] \approx -2.87443\]
- Somme des produits \( t\,\ln[A] \) :
\[\sum (t\,\ln[A]) = (0 \times 0) + (1 \times -0.28768) + (2 \times -0.57982) + (3 \times -0.86750) + (4 \times -1.13943)\]
\[\sum (t\,\ln[A]) = 0 – 0.28768 – 1.15964 – 2.60250 – 4.55772\]
\[\sum (t\,\ln[A]) \approx -8.60754\]
c) Application de la formule
Substituons les valeurs dans la formule :
\[m = \frac{5(-8.60754) – (10)(-2.87443)}{5 \times 30 – 10^2}\]
Calculons d’abord le numérateur :
\[5(-8.60754) = -43.0377 \quad \text{et} \quad 10(-2.87443) = -28.7443,\]
donc :
\[\text{Numérateur} = -43.0377 – (-28.7443)\]
\[\text{Numérateur} = -43.0377 + 28.7443\]
\[\text{Numérateur} = -14.2934.\]
Calculons ensuite le dénominateur :
\[\text{Dénominateur} = 5 \times 30 – 10^2\]
\[\text{Dénominateur} = 150 – 100\]
\[\text{Dénominateur} = 50.\]
Ainsi,
\[m = \frac{-14.2934}{50}\]
\[m \approx -0.28587.\]
d) Détermination de \( k \)
Puisque pour une réaction de premier ordre :
\[\ln[A] = \ln[A]_0 – k\,t,\]
la pente \( m \) est égale à \(-k\). Par conséquent :
\[k \approx 0.28587\, \text{h}^{-1}.\]
3. Analyse et interprétation
- Signification de la constante de vitesse \( k \)
La constante \( k \) d’environ \( 0.286\, \text{h}^{-1} \) indique que la vitesse de décomposition du composé \( A \) est proportionnelle à sa concentration. Concrètement, pour chaque heure, la fraction de la concentration de \( A \) se décompose à un taux caractérisé par \( k \). Une valeur plus élevée de \( k \) signifierait une décomposition plus rapide.
- b) Influence de la température sur \( k \)}
Dans un contexte expérimental réel, la température est un paramètre crucial influençant la constante de vitesse. Selon l’équation d’Arrhenius :
\[k = A \cdot \exp\Bigl(-\frac{E_a}{RT}\Bigr),\]
où :
- \( A \) est le facteur préexponentiel (fréquence des collisions efficaces),
- \( E_a \) est l’énergie d’activation,
- \( R \) est la constante des gaz parfaits,
- \( T \) est la température absolue (en Kelvin).
Interprétations :
- Augmentation de la température : En augmentant \( T \), le terme \(\exp\Bigl(-\frac{E_a}{RT}\Bigr)\) augmente (car \(-\frac{E_a}{RT}\) devient moins négatif), ce qui accroît \( k \). La réaction se déroule donc plus rapidement.
- Diminution de la température : À l’inverse, une baisse de la température diminue \( k \), ralentissant la réaction.
Ces effets sont essentiels pour le contrôle des réactions chimiques en laboratoire et en industrie, car ils permettent d’optimiser les conditions pour atteindre les rendements souhaités.
Détermination de la constante de vitesse
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