Interaction entre deux patineurs sur glace
Comprendre l’Interaction entre deux patineurs sur glace
Deux patineurs, Alice et Bob, se trouvent sur une patinoire de glace lisse et horizontale. Alice, qui pèse 50 kg, se déplace à une vitesse de 3 m/s vers l’est lorsque Bob, qui pèse 70 kg, la pousse en direction opposée à sa trajectoire initiale. Bob est initialement au repos mais commence à glisser sur la glace en poussant Alice.
Données :
- Masse d’Alice (\(m_A\)) = 50 kg
- Masse de Bob (\(m_B\)) = 70 kg
- Vitesse initiale d’Alice (\(v_{A_i}\)) = 3 m/s vers l’est
- Vitesse initiale de Bob (\(v_{B_i}\)) = 0 m/s (au repos)
Questions :
1. Supposons que Bob exerce une force constante sur Alice pendant 2 secondes. Si cette force est de 40 N dirigée vers l’ouest, calculez la vitesse finale de chaque patineur après l’interaction. Considérez que le frottement sur la glace est négligeable.
2. Calculez l’impulsion totale que Bob a appliquée sur Alice.
3. Quelle est la variation de la quantité de mouvement d’Alice suite à cette impulsion ?
4. Vérifiez si la loi de conservation de la quantité de mouvement est respectée dans cette situation.
Correction : Interaction entre deux patineurs sur glace
1. Calcul de la vitesse finale de chaque patineur
a. Calcul de l’accélération d’Alice
Alice est poussée vers l’ouest par Bob avec une force de 40 N pendant 2 secondes. Nous calculons son accélération en utilisant la deuxième loi de Newton.
Formule:
\[ a = \frac{F}{m} \]
Données:
- \(F = -40 \, \text{N}\) (vers l’ouest, d’où le signe négatif)
- \(m_A = 50 \, \text{kg}\)
Calcul:
\[ a_A = \frac{-40 \, \text{N}}{50 \, \text{kg}} \] \[ a_A = -0.8 \, \text{m/s}^2 \]
Alice subit une accélération vers l’ouest.
b. Vitesse finale d’Alice
La vitesse finale d’Alice est calculée en prenant en compte l’accélération due à la poussée de Bob et le temps pendant lequel cette force a été appliquée.
Formule:
\[ v_f = v_i + at \]
Données:
- \(v_{A_i} = 3 \, \text{m/s}\) (initialement vers l’est)
- \(a_A = -0.8 \, \text{m/s}^2\)
- \(t = 2 \, \text{s}\)
Calcul:
\[ v_{A_f} = 3 \, \text{m/s} + (-0.8 \, \text{m/s}^2 \times 2 \, \text{s}) \] \[ v_{A_f} = 3 \, \text{m/s} – 1.6 \, \text{m/s} \] \[ v_{A_f} = 1.4 \, \text{m/s}\, \text{vers l’est} \]
La vitesse finale d’Alice est de 1.4 m/s vers l’est.
c. Vitesse finale de Bob (Conservation de la quantité de mouvement)
Utilisant la conservation de la quantité de mouvement, nous calculons la vitesse finale de Bob après l’interaction.
Formule:
\[ m_A v_{A_i} + m_B v_{B_i} = m_A v_{A_f} + m_B v_{B_f} \]
Données:
- \(m_B = 70 \, \text{kg}\)
- \(v_{B_i} = 0 \, \text{m/s}\)
Calcul:
\[ 50 \times 3 + 70 \times 0 = 50 \times 1.4 + 70 \times v_{B_f} \] \[ 150 = 70 + 70 \times v_{B_f} \] \[ 70 \times v_{B_f} = 150 – 70 = 80 \] \[ v_{B_f} = \frac{80}{70} \] \[ v_{B_f} \approx 1.14 \, \text{m/s}\, \text{vers l’est} \]
La vitesse finale de Bob est de 1.14 m/s vers l’est.
2. Calcul de l’impulsion totale que Bob a appliquée sur Alice
L’impulsion est le produit de la force par le temps durant lequel elle est appliquée. Cela nous donne la variation de quantité de mouvement d’Alice.
Formule:
\[ I = F \cdot t \]
Données:
- \(F = -40 \, \text{N}\)
- \(t = 2 \, \text{s}\)
Calcul:
\[ I = -40 \times 2 \] \[ I = -80 \, \text{Ns} \]
L’impulsion totale appliquée sur Alice est de -80 Ns.
3. Variation de la quantité de mouvement d’Alice
Formule:
\[ \Delta p = m \times \Delta v \]
Calcul:
\[ \Delta p = 50 \times (1.4 – 3) \] \[ \Delta p = 50 \times (-1.6) \] \[ \Delta p = -80 \, \text{kg m/s} \]
La variation de la quantité de mouvement d’Alice est de -80 kg m/s.
4. Vérification de la conservation de la quantité de mouvement
Calcul initial:
\[ = 50 \times 3 + 70 \times 0 \] \[ = 150 \, \text{kg m/s} \]
Calcul final:
\[ = 50 \times 1.4 + 70 \times 1.14 \] \[ = 70 + 79.8 \] \[ = 149.8 \, \text{kg m/s} \]
(approximation due aux arrondis)
Conclusion:
La quantité de mouvement est approximativement conservée, les petites différences étant dues à des arrondis dans les calculs.
Interaction entre deux patineurs sur glace
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