Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
Comprendre l’Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
Dans cet exercice, nous allons analyser le comportement asymptotique d’un circuit RLC série, qui est un circuit électrique composé d’une résistance (R), d’une bobine d’inductance (L), et d’un condensateur (C).
Ces circuits sont essentiels pour étudier les oscillations électriques et les phénomènes de résonance dans des applications technologiques variées.
Données:
- Résistance \( R = 100 \, \Omega \)
- Inductance \( L = 0.5 \, H \)
- Capacité \( C = 10 \, \mu F \)
- Tension initiale aux bornes du condensateur \( V_0 = 12 \, V \)
- Aucune source de tension externe n’est appliquée après \( t = 0 \)
Objectif:
Déterminez le comportement du voltage \( V_C(t) \) aux bornes du condensateur pour des temps longs \( t \), en assumant que le régime est asymptotique.
1. Calculez la fréquence angulaire naturelle \( \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \).
2. Déterminez le facteur d’amortissement \( \zeta = \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} \).
3. Identifiez le type de réponse du circuit (sous-amorti, critique, sur-amorti).
4. Calculez la réponse du voltage \( V_C(t) \) en régime asymptotique.
Question:
En supposant que le circuit est sous-amorti, dérivez l’expression pour \( V_C(t) \), calculez la phase initiale \( \phi \) en utilisant les conditions initiales et évaluez \( V_C(t) \) pour \( t = 5 \, ms \).
Correction : Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
1. Calcul de la Fréquence Angulaire Naturelle \( \omega_0 \)
La fréquence angulaire naturelle \( \omega_0 \) est donnée par la formule:
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
En substituant les valeurs de L et C:
- \(L = 0.5 \, H \quad \text{et} \)
- \(C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F\)
On obtient:
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.5 \times 10 \times 10^{-6}}} \] \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{5 \times 10^{-6}}} \] \[ \omega_0 \approx \frac{1}{0.002236} \] \[ \omega_0 \approx 447.21 \, \text{rad/s} \]
2. Calcul du Facteur d’Amortissement \( \zeta \)
Le facteur d’amortissement \( \zeta \) est donné par:
\[ \zeta = \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} \]
Avec \( R = 100 \, \Omega \):
\[ \zeta = \frac{100}{2} \sqrt{\frac{10 \times 10^{-6}}{0.5}} \] \[ \zeta = 50 \sqrt{20 \times 10^{-6}} \] \[ \zeta \approx 50 \times 0.00447 \] \[ \zeta \approx 0.2236 \]
3. Détermination du Type de Réponse
Puisque \( \zeta < 1 \) (0.2236), le régime est sous-amorti. Cela indique que le circuit va osciller avec une amplitude décroissante.
4. Expression de \( V_C(t) \) pour un Régime Sous-Amorti
Pour un circuit sous-amorti, l’équation du voltage aux bornes du condensateur est:
\[ V_C(t) = V_0 e^{-\zeta \omega_0 t} \cos(\omega_d t + \phi) \]
où \( \omega_d = \omega_0 \sqrt{1 – \zeta^2} \) est la fréquence d’oscillation amortie.
Calcul de \( \omega_d \):
\[ \omega_d = 447.21 \sqrt{1 – 0.2236^2} \] \[ \omega_d \approx 447.21 \sqrt{0.950} \] \[ \omega_d \approx 447.21 \times 0.9747 \] \[ \omega_d \approx 436.02 \, \text{rad/s} \]
Calcul de la Phase Initiale \( \phi \):
Pour \( t = 0 \), \( V_C(0) = V_0 \), donc \( \cos(\phi) = 1 \) et \( \phi = 0 \).
En utilisant \( V_0 = 12 \, V \), l’expression devient:
\[ V_C(t) = 12 e^{-0.2236 \times 447.21 t} \cos(436.02 t) \]
Évaluation de \( V_C(t) \) pour \( t = 5 \, ms \)
Substituons \( t = 0.005 \, s \) dans l’équation:
\[ V_C(0.005) = 12 e^{-0.2236 \times 447.21 \times 0.005} \cos(436.02 \times 0.005) \]
Calculons les valeurs:
\[ V_C(0.005) = 12 \times 0.605 \times \cos(2.1801) \] \[ V_C(0.005) \approx 12 \times 0.605 \times -0.574 \] \[ V_C(0.005) \approx -4.156 \, V \]
Le voltage \( V_C \) aux bornes du condensateur à \( t = 5 \, ms \) est d’environ \(-4.156 \, V\), ce qui montre une décroissance oscillatoire du voltage dû à l’amortissement.
Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
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