Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
Comprendre l’Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
Nous allons analyser le comportement asymptotique d’un circuit RLC série, qui est un circuit électrique composé d’une résistance (R), d’une bobine d’inductance (L), et d’un condensateur (C). Ces circuits sont essentiels pour étudier les oscillations électriques et les phénomènes de résonance dans des applications technologiques variées.
Données:
- Résistance \( R = 100 \, \Omega \)
- Inductance \( L = 0.5 \, H \)
- Capacité \( C = 10 \, \mu F \)
- Tension initiale aux bornes du condensateur \( V_0 = 12 \, V \)
- Aucune source de tension externe n’est appliquée après \( t = 0 \)
Questions:
Déterminez le comportement du voltage \( V_C(t) \) aux bornes du condensateur pour des temps longs \( t \), en assumant que le régime est asymptotique.
1. Calculez la fréquence angulaire naturelle \( \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \).
2. Déterminez le facteur d’amortissement \( \zeta = \frac{R}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} \).
3. Identifiez le type de réponse du circuit (sous-amorti, critique, sur-amorti).
4. Calculez la réponse du voltage \( V_C(t) \) en régime asymptotique.
En supposant que le circuit est sous-amorti, dérivez l’expression pour \( V_C(t) \), calculez la phase initiale \( \phi \) en utilisant les conditions initiales et évaluez \( V_C(t) \) pour \( t = 5 \, ms \).
Correction : Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
1. Calcul de la Fréquence Angulaire Naturelle \( \omega_0 \)
La fréquence angulaire naturelle \( \omega_0 \) est une mesure de la rapidité avec laquelle le système peut osciller sans amortissement. Elle est calculée à partir de l’inductance \( L \) et de la capacité \( C \) du circuit.
Formule:
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]
Données:
- Inductance \( L = 0.5\,H \)
- Capacité \( C = 10\,\mu F = 10 \times 10^{-6}\,F \)
Calcul:
\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{0.5 \times 10 \times 10^{-6}}} \] \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{5 \times 10^{-6}}} \] \[ \omega_0 \approx 447.21\,rad/s \]
2. Calcul du Facteur d’Amortissement \( \zeta \)
Le facteur d’amortissement \( \zeta \) détermine la nature de l’amortissement dans le circuit. Il indique si le système est sous-amorti, sur-amorti ou critique.
Formule:
\[ \zeta = \frac{R}{2\sqrt{LC}} \]
Données:
- Résistance \( R = 100\,\Omega \)
Calcul:
\[ \zeta = \frac{100}{2\sqrt{0.5 \times 10 \times 10^{-6}}} \] \[ \zeta = \frac{100}{2 \times 0.002236} \] \[ \zeta = \frac{100}{0.004472} \] \[ \zeta \approx 0.2236 \]
3. Détermination du Type de Réponse
En fonction de la valeur de \( \zeta \), le circuit peut présenter différentes réponses: sous-amorti (\( \zeta < 1 \)), critique (\( \zeta = 1 \)), ou sur-amorti (\( \zeta > 1 \)).
Analyse: Puisque \( \zeta \approx 0.2236 \), le circuit est sous-amorti, ce qui implique des oscillations décroissantes.
4. Expression de \( V_C(t) \) pour un Régime Sous-Amorti
Pour un régime sous-amorti, le voltage aux bornes du condensateur oscille avec une enveloppe exponentielle décroissante.
Formule:
\[ V_C(t) = V_0 e^{-\zeta \omega_0 t} \cos(\omega_d t + \phi) \]
où \( \omega_d = \omega_0 \sqrt{1 – \zeta^2} \) est la fréquence d’oscillation amortie.
Données:
- Tension initiale \( V_0 = 12\,V \)
Calcul de \( \omega_d \):
\[ \omega_d = 447.21 \sqrt{1 – 0.2236^2} \] \[ \omega_d = 447.21 \times 0.9500 \] \[ \omega_d \approx 436.02\,rad/s \]
Calcul de \( \phi \):
\[ \phi = 0 \] (car \( \cos(\phi) = 1 \) à \( t = 0 \))
Calcul de \( V_C(t) \) pour \( t = 5\,ms \):
\[ V_C(0.005) = 12 e^{-0.2236 \times 447.21 \times 0.005} \cos(436.02 \times 0.005) \] \[ V_C(0.005) \approx -4.156\,V \]
Analyse de l’Amortissement dans les Circuits
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