Analyse de la Déviation Minimale d'un Prisme
Contexte : Le prismeUn milieu transparent, homogène et isotrope, délimité par deux surfaces planes non parallèles appelées faces du prisme. et la réfraction de la lumière.
L'étude de la trajectoire de la lumière à travers un prisme est un fondamental de l'optique géométrique. Elle permet non seulement de comprendre le phénomène de réfractionChangement de direction que subit un rayon lumineux en passant d'un milieu transparent à un autre., mais aussi de caractériser les propriétés optiques d'un matériau, comme son indice de réfractionGrandeur sans dimension qui décrit la capacité d'un milieu à ralentir la lumière. Il est défini par n = c/v, où c est la vitesse de la lumière dans le vide et v celle dans le milieu.. Cet exercice se concentre sur une condition particulière : l'angle de déviation minimale, une configuration qui simplifie les calculs et qui est souvent utilisée en laboratoire pour des mesures de haute précision.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème d'optique complexe en appliquant les lois de Snell-Descartes et des relations géométriques simples pour en déduire une propriété fondamentale du matériau.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer les lois de Snell-Descartes pour la réfraction sur deux dioptres.
- Établir et utiliser les formules géométriques du prisme.
- Comprendre le concept de déviation minimale et ses conditions.
- Calculer l'indice de réfraction d'un milieu à partir de mesures expérimentales.
Données de l'étude
Trajet d'un rayon lumineux dans un prisme
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \(A\) | Angle au sommet du prisme | 60 | \(\text{degrés (}^\circ\text{)}\) |
| \(D_m\) | Angle de déviation minimale mesuré | 51 | \(\text{degrés (}^\circ\text{)}\) |
| \(c\) | Vitesse de la lumière dans le vide | \(3,00 \times 10^8\) | \(\text{m/s}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'indice de réfraction \(n\) du verre Flint pour cette lumière jaune.
- Dans les conditions de déviation minimale, quel est l'angle d'incidence \(i_m\) ?
- Toujours dans ces conditions, que vaut l'angle de réfraction \(r_m\) ?
- En déduire la vitesse de propagation \(v\) de la lumière jaune dans ce prisme.
Les bases sur l'Optique du Prisme
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les quatre formules fondamentales du prisme, qui découlent des lois de Snell-Descartes et de considérations géométriques.
1. Loi de Snell-Descartes (face d'entrée)
Au point d'incidence I, la loi de la réfraction s'écrit :
\[ n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r) \]
Ici, le milieu 1 est l'air (\(n_1 \approx 1\)) et le milieu 2 est le prisme (\(n_2 = n\)). La formule devient : \(\sin(i) = n \sin(r)\).
2. Loi de Snell-Descartes (face de sortie)
Au point d'émergence I', la lumière passe du prisme (\(n_2 = n\)) à l'air (\(n_1 \approx 1\)). La loi s'écrit :
\[ n \sin(r') = \sin(i') \]
3. Relations Géométriques
L'étude géométrique du prisme permet d'établir deux relations cruciales entre les angles :
\[ A = r + r' \quad \text{et} \quad D = i + i' - A \]
4. Condition de Déviation Minimale
La déviation est minimale lorsque le trajet du rayon lumineux est symétrique par rapport au plan bissecteur de l'angle A. Cela implique :
\[ i = i' \quad \text{et} \quad r = r' \]
Correction : Analyse de la Déviation Minimale d'un Prisme
Question 1 : Calculer l'indice de réfraction \(n\) du verre
Principe
L'objectif est de trouver une expression de l'indice de réfraction \(n\) qui ne dépende que des grandeurs mesurables expérimentalement, c'est-à-dire l'angle du prisme \(A\) et l'angle de déviation minimale \(D_m\). Pour cela, nous allons utiliser les formules du prisme en nous plaçant dans le cas particulier de la déviation minimale.
Mini-Cours
La condition de déviation minimale est un cas d'école puissant car elle crée une symétrie parfaite du trajet lumineux. Cette symétrie (\(i=i', r=r'\)) fait s'effondrer les 4 formules générales du prisme en 2 relations beaucoup plus simples, permettant d'isoler des inconnues comme l'indice \(n\).
Remarque Pédagogique
La stratégie ici est classique en physique : partir de lois générales (les 4 formules du prisme) et les appliquer à un cas particulier (déviation minimale) pour simplifier le système d'équations et trouver la grandeur recherchée.
Normes
Cet exercice ne fait pas appel à des normes d'ingénierie, mais repose sur les lois fondamentales de l'optique géométrique établies par Snell et Descartes au XVIIe siècle, qui sont le fondement de la plupart des instruments d'optique.
Formule(s)
Formule du prisme au minimum de déviation
Hypothèses
Le calcul est valide sous plusieurs hypothèses :
- Le prisme est plongé dans l'air, dont l'indice est approximé à \(n_{\text{air}} = 1\).
- La lumière est parfaitement monochromatique (sa longueur d'onde est unique).
- On se place dans le cadre de l'optique géométrique (on ne considère pas les phénomènes de diffraction).
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs fournies dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle du prisme | A | 60 | \(\text{degrés}\) |
| Déviation minimale | \(D_m\) | 51 | \(\text{degrés}\) |
Astuces
Pour les calculs impliquant des sinus, une astuce est de se souvenir des valeurs remarquables, comme \(\sin(30^\circ) = 0.5\). Cela simplifie grandement le calcul du dénominateur et permet parfois de faire une estimation rapide du résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma ci-dessous illustre le trajet symétrique du rayon lumineux à l'intérieur du prisme, où le rayon interne est parallèle à la base du prisme (si celui-ci est isocèle).
Trajet au minimum de déviation
Calcul(s)
Calcul de l'argument du sinus au numérateur
Calcul de l'argument du sinus au dénominateur
Calcul de l'indice de réfraction n
Schéma (Après les calculs)
Le résultat \(n \approx 1.65\) est une propriété du matériau. On peut le représenter sur un diagramme comparant les indices de différents matériaux. Le verre Flint se situe bien dans la catégorie des verres à fort indice.
Position de l'Indice de Réfraction
Réflexions
La valeur de \(n \approx 1.65\) est une valeur typique pour un verre Flint dense dans le domaine du visible. Cela confirme la cohérence de nos mesures et calculs. Il est important de noter que l'indice de réfraction dépend de la longueur d'onde de la lumière (phénomène de dispersion), c'est pourquoi on précise qu'on utilise une lumière monochromatique.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de régler sa calculatrice en mode "degrés" pour les calculs trigonométriques. Une autre erreur est d'appliquer cette formule en dehors des conditions de déviation minimale.
Points à retenir
La formule du prisme au minimum de déviation est un outil essentiel pour déterminer l'indice d'un matériau de manière précise. Elle relie directement les grandeurs macroscopiques mesurables (angles \(A\) et \(D_m\)) à une propriété microscopique du matériau (\(n\)).
Le saviez-vous ?
C'est grâce à une expérience similaire avec un prisme qu'Isaac Newton a démontré en 1672 que la lumière blanche est en réalité composée de toutes les couleurs de l'arc-en-ciel. Il a appelé ce phénomène la "dispersion".
FAQ
La courbe de la déviation \(D\) en fonction de l'angle d'incidence \(i\) n'est pas monotone. Elle descend jusqu'à une valeur minimale, puis remonte. Ce minimum correspond à la configuration géométrique la plus "symétrique" pour le passage de la lumière, où les angles d'entrée et de sortie sont égaux.Pourquoi la déviation passe-t-elle par un minimum ?
Résultat Final
A vous de jouer
Un autre prisme, de même angle \(A=60^\circ\), donne une déviation minimale \(D_m=37.2^\circ\) avec la même lumière. Quel est son indice de réfraction ?
Question 2 : Déterminer l'angle d'incidence \(i_m\)
Principe
Il suffit de réutiliser la relation établie à la question précédente qui lie l'angle d'incidence minimal \(i_m\) à l'angle du prisme \(A\) et à la déviation minimale \(D_m\).
Mini-Cours
L'angle d'incidence au minimum de déviation, noté \(i_m\), n'est pas une grandeur indépendante. Il est une conséquence directe de la géométrie du prisme (\(A\)) et de son indice (\(n\)), qui fixent ensemble la valeur de \(D_m\). C'est l'angle précis qu'il faut choisir pour obtenir le trajet lumineux symétrique.
Remarque Pédagogique
Il est conseillé de toujours calculer les grandeurs intermédiaires comme \(i_m\) et \(r_m\), même si elles ne sont pas demandées explicitement, car elles sont souvent nécessaires pour des questions ultérieures et permettent de vérifier la cohérence des résultats.
Normes
Pas de normes applicables. La relation est une pure déduction mathématique des lois de l'optique.
Formule(s)
Relation de l'angle d'incidence minimal
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : prisme dans l'air, lumière monochromatique.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle du prisme | A | 60 | \(\text{degrés}\) |
| Déviation minimale | \(D_m\) | 51 | \(\text{degrés}\) |
Astuces
Cette formule est une simple moyenne arithmétique. Pas de piège de calcul, il suffit d'être rigoureux.
Schéma (Avant les calculs)
On se réfère au schéma de l'énoncé, en identifiant l'angle \(i\) comme étant \(i_m\). Le schéma ci-dessous met en évidence cet angle spécifique.
Identification de l'angle d'incidence \(i_m\)
Calcul(s)
Calcul de l'angle d'incidence minimal
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre la symétrie parfaite des angles d'entrée et de sortie, une condition nécessaire et suffisante pour la déviation minimale.
Symétrie des angles à la déviation minimale
Réflexions
Cet angle de 55.5° est unique. Pour tout autre angle d'incidence (inférieur ou supérieur, dans la limite de l'émergence), la déviation sera plus grande que 51°.
Points de vigilance
Attention, cette formule n'est valide QUE pour l'angle d'incidence qui donne la déviation minimale. Pour un angle d'incidence quelconque \(i\), la déviation \(D\) est donnée par la formule générale \(D = i + \arcsin(n \sin(A - \arcsin(\frac{\sin i}{n}))) - A\), beaucoup plus complexe.
Points à retenir
L'angle d'incidence au minimum de déviation est la moyenne de l'angle du prisme et de la déviation minimale.
Le saviez-vous ?
Les spectromètres à prisme de haute précision utilisent un dispositif appelé goniomètre pour mesurer très précisément les angles \(A\) et \(D_m\), ce qui permet de calculer l'indice de réfraction d'un matériau avec 5 ou 6 décimales.
FAQ
Oui. Sauf pour le minimum de déviation qui est unique, la courbe \(D(i)\) montre que pour toute valeur de déviation \(D > D_m\), il existe deux angles d'incidence distincts qui donnent cette même déviation (un avant le minimum, un après).Est-il possible d'obtenir la même déviation pour deux angles d'incidence différents ?
Résultat Final
A vous de jouer
Pour le prisme de l'exercice précédent (\(A=60^\circ, n=1.500, D_m=37.2^\circ\)), quel est l'angle d'incidence minimal \(i_m\)?
Question 3 : Déterminer l'angle de réfraction \(r_m\)
Principe
Comme pour la question 2, on utilise la relation géométrique simplifiée par la condition de déviation minimale, qui relie l'angle de réfraction \(r_m\) à l'angle du prisme \(A\).
Mini-Cours
La relation \(A = r + r'\) est purement géométrique. Elle vient du fait que la somme des angles d'un quadrilatère (formé par le sommet A et les points d'incidence/émergence sur les faces) est de 360°, et que les normales forment des angles de 90°. Au minimum de déviation, \(r=r'\), donc \(A = 2r_m\).
Remarque Pédagogique
La simplicité de cette relation (\(r_m = A/2\)) est remarquable. Elle montre que pour obtenir la déviation minimale, l'angle de réfraction interne ne dépend QUE de la géométrie du prisme, et pas de son indice de réfraction !
Normes
Pas de normes applicables. La relation est une pure déduction mathématique des lois de l'optique.
Formule(s)
Relation de l'angle de réfraction minimal
Hypothèses
La seule condition est celle de la déviation minimale.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle du prisme | A | 60 | \(\text{degrés}\) |
Astuces
C'est le calcul le plus simple de l'exercice. Il ne faut pas chercher de complication.
Schéma (Avant les calculs)
On se réfère au schéma de l'énoncé, en identifiant l'angle \(r\) comme étant \(r_m\). Le schéma ci-dessous met en évidence cet angle spécifique.
Identification de l'angle de réfraction \(r_m\)
Calcul(s)
Calcul de l'angle de réfraction minimal
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre la symétrie des angles de réfraction internes, qui sont tous les deux égaux à 30°.
Symétrie des angles de réfraction
Réflexions
Un angle de réfraction de 30° est une valeur courante. Il est intéressant de noter que si le prisme était équilatéral (tous les angles à 60°), le rayon interne au minimum de déviation serait parallèle à la base du prisme.
Points de vigilance
Comme pour \(i_m\), cette formule n'est valable qu'au minimum de déviation. Pour un cas général, \(r\) dépend de \(i\) via la loi de Snell-Descartes : \(r = \arcsin(\sin(i)/n)\).
Points à retenir
Au minimum de déviation, l'angle de réfraction \(r_m\) ne dépend que de l'angle au sommet du prisme \(A\).
Le saviez-vous ?
Les prismes utilisés dans les jumelles (prismes de Porro) sont des prismes à réflexion totale, taillés avec des angles très précis (45° et 90°) pour redresser l'image sans perte de lumière.
FAQ
Si l'angle d'incidence \(r'\) sur la face de sortie est supérieur à l'angle limite de réfraction (\(\lambda = \arcsin(1/n)\)), il n'y a pas de rayon émergent : c'est le phénomène de réflexion totale interne. La lumière est alors piégée dans le prisme.Que se passe-t-il si l'angle \(r'\) est supérieur à l'angle critique ?
Résultat Final
A vous de jouer
Pour un prisme d'angle \(A=45^\circ\), quel serait l'angle de réfraction \(r_m\) au minimum de déviation ?
Question 4 : Calculer la vitesse \(v\) de la lumière dans le prisme
Principe
La définition même de l'indice de réfraction \(n\) d'un milieu est le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) et sa vitesse (\(v\)) dans ce milieu. Une fois \(n\) connu, on peut donc facilement en déduire \(v\).
Mini-Cours
L'indice de réfraction est une manifestation macroscopique des interactions entre l'onde électromagnétique (la lumière) et les atomes du milieu. L'onde est absorbée puis réémise en permanence, ce qui cause un retard apparent de sa propagation, d'où une vitesse effective \(v < c\).
Remarque Pédagogique
Cette question est un retour aux définitions. Elle vous rappelle qu'une grandeur comme \(n\) n'est pas juste un nombre abstrait pour les calculs d'angles, mais qu'elle est liée à une propriété physique fondamentale de la propagation de la lumière.
Normes
Pas de normes applicables. Il s'agit d'une relation de définition fondamentale en physique.
Formule(s)
Définition de l'indice de réfraction
Hypothèses
On suppose que le milieu extérieur est le vide (ou l'air, où la vitesse de la lumière est très proche de \(c\)).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse de la lumière (vide) | c | \(3.00 \times 10^8\) | \(\text{m/s}\) |
| Indice de réfraction (calculé) | n | 1.648 | - |
Astuces
Pour l'ordre de grandeur, sachez que pour les verres courants, n est compris entre 1.5 et 1.9. La vitesse de la lumière y sera donc de l'ordre de \( (3/1.5) \times 10^8 = 2 \times 10^8\) m/s à \( (3/1.9) \times 10^8 \approx 1.6 \times 10^8\) m/s.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma suivant est une représentation conceptuelle du ralentissement d'une onde lumineuse en passant de l'air (indice \(n_1\)) à un milieu plus dense comme le verre (indice \(n_2 > n_1\)). La longueur d'onde diminue, et donc la vitesse aussi (\(v = \lambda f\)).
Schéma conceptuel du ralentissement de l'onde
Calcul(s)
Calcul de la vitesse de la lumière dans le prisme
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme en barres ci-dessous compare la vitesse de la lumière dans le vide à celle, bien plus faible, calculée dans le prisme.
Comparaison des Vitesses de Propagation
Réflexions
La lumière est ralentie de manière significative dans le prisme. Sa vitesse ne représente plus que \(1.82/3.00 \approx 60.7\%\) de sa vitesse dans le vide. Ce ralentissement est la cause directe du phénomène de réfraction.
Points de vigilance
La vitesse de la lumière dans un milieu matériel est toujours inférieure à \(c\). Si votre calcul donne une valeur supérieure à \(3 \times 10^8\) m/s, c'est qu'il y a une erreur, probablement une inversion dans la formule (\(v = n \cdot c\) au lieu de \(v=c/n\)).
Points à retenir
L'indice de réfraction est le rapport de deux vitesses : \(n=c/v\). C'est la définition fondamentale à maîtriser.
Le saviez-vous ?
Dans certains milieux et pour certaines particules, il est possible qu'une particule (comme un électron) aille plus vite que la lumière DANS CE MILIEU. Elle émet alors un flash de lumière bleutée appelé "rayonnement Tcherenkov". C'est l'équivalent lumineux du "bang" supersonique d'un avion.
FAQ
Oui. Comme l'indice \(n\) dépend de la longueur d'onde (\(n_{\text{bleu}} > n_{\text{rouge}}\)), la vitesse de la lumière dans le prisme dépend aussi de la couleur (\(v_{\text{bleu}} < v_{\text{rouge}}\)). La lumière bleue est plus ralentie que la rouge, et donc plus déviée. C'est l'origine de la dispersion.La vitesse de la lumière change-t-elle avec la couleur dans le prisme ?
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la vitesse de la lumière dans le prisme de l'exercice précédent (\(n=1.500\)) ?
Outil Interactif : Simulateur de Déviation
Utilisez le curseur ci-dessous pour faire varier l'angle d'incidence \(i\) d'un rayon lumineux sur un prisme d'angle \(A=60^\circ\) et d'indice \(n=1.648\). Observez comment l'angle de déviation \(D\) évolue et retrouvez la position du minimum.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la condition pour observer la déviation minimale ?
2. Si on utilise de la lumière blanche au lieu de la lumière monochromatique, que se passe-t-il à la sortie du prisme ?
3. Dans le cas de la déviation minimale pour un prisme d'angle A, l'angle de réfraction interne \(r_m\) est égal à :
4. Si on remplace le prisme par un autre de même angle A mais avec un indice de réfraction \(n'\) > \(n\), comment évolue l'angle de déviation minimale \(D_m\)?
- Prisme
- En optique, un prisme est un milieu transparent (verre, plastique, etc.), homogène et isotrope, délimité par deux surfaces planes non parallèles qui forment entre elles l'angle \(A\), appelé angle du prisme.
- Indice de réfraction (n)
- Grandeur sans dimension qui décrit la capacité d'un milieu transparent à ralentir la lumière. Il est défini par le rapport \(n = c/v\), où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide et \(v\) est sa vitesse dans le milieu.
- Lois de Snell-Descartes
- Lois qui décrivent le comportement de la lumière à l'interface de deux milieux. Elles stipulent que le rayon réfracté est dans le plan d'incidence et que la relation \(n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)\) est vérifiée.
- Angle de déviation (D)
- Angle formé par la direction du rayon incident (avant le prisme) et la direction du rayon émergent (après le prisme).
D’autres exercices de physique terminale:
0 commentaires