Analyse de l’Angle de Déviation Minimale

Comprendre l’Analyse de l’Angle de Déviation Minimale

Dans le cadre de l’étude de la dispersion de la lumière par un prisme, vous avez reçu un prisme en verre triangulaire de petite taille, typiquement utilisé dans les laboratoires de physique pour étudier la réfraction et la dispersion de la lumière. Ce prisme peut être utilisé pour observer la déviation minimale d’un rayon lumineux, qui est un concept crucial en optique.

Données fournies :

Indice de réfraction du verre pour la lumière rouge : \( n = 1,52 \)
Angle au sommet du prisme (A) : \( 60^\circ \)

Questions:

1. Définir l’angle de déviation minimale.

2. Calcul de l’angle d’incidence pour une déviation minimale :

Utilisez la relation entre l’angle d’incidence \( i \), l’angle de réfraction \( r \) et l’indice de réfraction \( n \) avec la loi de Snell-Descartes.
À l’angle de déviation minimale, l’angle d’incidence est égal à l’angle de sortie \( i \), et les rayons à l’intérieur du prisme sont symétriques.

3. Expression de l’angle de déviation minimale :

Exprimez \( D_{\text{min}} \) en fonction de l’angle au sommet du prisme \( A \) et de l’indice de réfraction \( n \).

Déterminez d’abord l’angle de réfraction \( r \) à partir de l’indice de réfraction \( n \) et de l’angle au sommet \( A \).
Ensuite, calculez l’angle de déviation minimale \( D_{\text{min}} \) en utilisant l’expression ci-dessus.

Correction : Analyse de l’Angle de Déviation Minimale

1. Définition de l’angle de déviation minimale

L’angle de déviation minimale, noté \( D_{\text{min}} \), est la déviation la plus faible subie par un rayon lumineux lorsqu’il traverse un prisme. Ce phénomène se produit lorsque le trajet du rayon à l’intérieur du prisme est symétrique, c’est-à-dire que l’angle d’incidence à l’entrée est égal à l’angle de sortie.

Données

Prisme en verre
Angle au sommet du prisme \( A \) : \( 60^\circ \)
Indice de réfraction pour la lumière rouge \( n \) : \( 1,52 \)

2. Calcul de l’angle d’incidence pour une déviation minimale

À la déviation minimale, le rayon lumineux entre et sort du prisme avec le même angle d’incidence (noté \( i \)). Par ailleurs, les angles de réfraction à l’intérieur du prisme (notés \( r_1 \) et \( r_2 \)) sont égaux. La relation géométrique dans le prisme donne :

\[ A = r_1 + r_2 = 2r \quad \Rightarrow \quad r = \frac{A}{2} \]

Formule

Utilisons la loi de Snell-Descartes :

\[ n = \frac{\sin i}{\sin r} \]

Pour le cas de déviation minimale, on peut écrire :

\[ \sin i = n \times \sin\left(\frac{A}{2}\right) \]

D’où :

\[ i = \arcsin\left( n \times \sin\left(\frac{A}{2}\right) \right) \]

Données

\( n = 1,52 \)
\( A = 60^\circ \)
\( \frac{A}{2} = 30^\circ \)
\( \sin(30^\circ) = 0,5 \)

Calcul

Substituons les valeurs dans la formule :

\[ \sin i = 1,52 \times 0,5 = 0,76 \]

Puis, l’angle d’incidence \( i \) est :

\[ i = \arcsin(0,76) \approx 49,46^\circ \]

3. Expression et calcul de l’angle de déviation minimale \( D_{\text{min}} \)

L’angle de déviation minimale \( D_{\text{min}} \) s’exprime en fonction de l’angle d’incidence \( i \) et de l’angle au sommet du prisme \( A \). La formule générale est :

\[ D_{\text{min}} = 2i – A \]

Données

\( i \approx 49,46^\circ \)
\( A = 60^\circ \)

Calcul

En substituant les valeurs, nous obtenons :

\[ D_{\text{min}} = 2 \times 49,46^\circ – 60^\circ \] \[ D_{\text{min}} = 98,92^\circ – 60^\circ \] \[ D_{\text{min}} \approx 38,92^\circ \]

Conclusion

1. Calcul de l’angle d’incidence \( i \) :

\( \sin i = 1,52 \times \sin(30^\circ) = 0,76 \)
\( i = \arcsin(0,76) \approx 49,46^\circ \)

2. Calcul de l’angle de déviation minimale \( D_{\text{min}} \) :

\( D_{\text{min}} = 2 \times 49,46^\circ – 60^\circ \approx 38,92^\circ \)

Ainsi, l’angle de déviation minimale du prisme est d’environ 38,92°.

Analyse de l’Angle de Déviation Minimale

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