Analyse de Mouvement dans un Bâti Fixe
Comprendre l’Analyse de Mouvement dans un Bâti Fixe
Un petit robot mobile, équipé d’un point lumineux O sur son sommet, se déplace dans un laboratoire.
Le robot suit une trajectoire qui peut être modélisée par une fonction mathématique par rapport à un système de coordonnées fixé au bâti du laboratoire.
Les mouvements du robot sont contrôlés par un ensemble de commandes qui lui permettent de se déplacer vers l’avant, vers l’arrière, et de tourner sur lui-même.
Données fournies:
- Le robot commence à se déplacer depuis l’origine du référentiel du laboratoire, point (0,0).
- Il se déplace d’abord en ligne droite vers le nord sur 4 mètres.
- Ensuite, il tourne à droite et avance de 3 mètres.
- Après cela, il effectue un demi-cercle vers la gauche d’un rayon de 2 mètres.
Questions:
1. Représenter le mouvement initial: Dessinez la trajectoire initiale du robot dans le référentiel du laboratoire en indiquant clairement les directions et les distances.
2. Calcul des coordonnées: Déterminez les coordonnées finales du point O après chaque étape du mouvement.
3. Équation de la trajectoire: Écrivez l’équation de la trajectoire du robot lorsqu’il effectue le demi-cercle.
4. Analyse du mouvement: Expliquez comment la vitesse et la direction du robot changent à chaque étape du mouvement.
Correction : Analyse de Mouvement dans un Bâti Fixe
1. Représentation du mouvement
Le robot commence son mouvement à l’origine du référentiel, qui est le point \((0,0)\). Il se déplace ensuite vers le nord.
Étape 1 : Déplacement vers le nord
- Distance parcourue : 4 mètres.
- Nouvelles coordonnées : \((0 + 0, 0 + 4) = (0, 4)\).
Étape 2 : Virage à droite et déplacement vers l’est
Distance parcourue : 3 mètres.
Nouvelles coordonnées : \((0 + 3, 4 + 0) = (3, 4)\).
Étape 3 : Demi-cercle vers la gauche
Rayon du demi-cercle : 2 mètres.
Centre du demi-cercle : \((3, 4 + 2) = (3, 6)\), puisque le demi-cercle commence à la dernière position connue \((3, 4)\) et le centre est à 2 mètres au nord de cette position.
2. Calcul des coordonnées finales après le demi-cercle
Le demi-cercle se déplace de \(180^\circ\) autour du centre \((3, 6)\). Le point final est diamétralement opposé au point de départ sur le cercle, ce qui nous donne :
- Point de départ du demi-cercle : \((3, 4)\).
- Point final du demi-cercle : \((3, 6 – 2 – 2) = (3, 2)\).
3. Équation de la trajectoire pour le demi-cercle
L’équation d’un cercle avec un centre \((h, k)\) et un rayon \(r\) est donnée par :
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Pour notre demi-cercle, \(h = 3\), \(k = 6\), et \(r = 2\). L’équation devient :
\[ (x – 3)^2 + (y – 6)^2 = 4 \]
4. Analyse du mouvement
- Vitesse et direction:
- Le robot se déplace à vitesse constante (non spécifiée, mais constante pour chaque segment).
- Les changements de direction sont nets à chaque étape, affectant directement la trajectoire.
- Implications de la trajectoire:
- La ligne droite montre un mouvement uniforme.
- Le virage à droite change la direction de l’est à partir du nord.
- Le demi-cercle montre un mouvement circulaire, indiquant un changement continu de direction qui, par sa nature, garde la vitesse constante le long du périmètre du cercle.
Analyse de Mouvement dans un Bâti Fixe
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