Analyse du Mouvement Circulaire sur un Manège
Comprendre l’Analyse du Mouvement Circulaire sur un Manège
Un manège de parc d’attractions a des chevaux qui se déplacent en cercle autour d’un point central. Chaque cheval est à une distance fixe du centre. On considère que le mouvement du cheval est circulaire uniforme.
Données de l’Exercice
- Rayon du cercle formé par le mouvement du cheval : 5 mètres.
- Temps pour un tour complet : 20 secondes.
Question
1. Calculer la vitesse linéaire du cheval en mètres par seconde.
2. Déterminer la fréquence du mouvement du cheval.
3. Calculer l’accélération centripète du cheval.
Correction : Analyse du Mouvement Circulaire sur un Manège
1. Calcul de la Vitesse Linéaire
La vitesse linéaire (\(v\)) représente la distance parcourue par le cheval sur le bord du cercle en un certain temps.
La formule pour calculer cette vitesse est
\[ v = \frac{C}{T} \]
où \(C\) est la circonférence du cercle et \(T\) est le temps pour un tour complet.
- Le rayon du cercle (\(r\)) est donné comme 5 mètres.
- La circonférence du cercle (\(C\)) se calcule par la formule
\[ C = 2\pi r \]
Avec \(r = 5\), on a donc
\[ C = 2 \times \pi \times 5 \] \[ C \approx 31,42\, \text{mètres} \]
Le temps pour un tour complet (\(T\)) est de 20 secondes.
En substituant les valeurs dans la formule de la vitesse linéaire, on obtient :
\[ v = \frac{C}{T} \] \[ v = \frac{31,42}{20} \approx 1,57 \text{ m/s} \]
La vitesse linéaire du cheval sur le manège est de 1,57 mètres par seconde.
2. Calcul de la Fréquence
La fréquence (\(f\)) indique combien de tours complets sont effectués en une seconde. Elle est l’inverse de la période (\(T\)), qui est le temps nécessaire pour un tour complet.
La formule est
\[ f = \frac{1}{T} \]
Pour un temps de 20 secondes par tour :
\[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{20} \] \[ f = 0,05 \text{ Hz} \]
La fréquence du mouvement circulaire du cheval est de 0,05 Hz, signifiant que le cheval complète un tour toutes les 20 secondes.
3. Calcul de l’Accélération Centripète
L’accélération centripète (\(a_c\)) est l’accélération qui maintient le cheval en mouvement circulaire, pointant vers le centre du cercle.
La formule pour calculer cette accélération est
\[ a_c = \frac{v^2}{r} \]
En substituant la vitesse linéaire (\(v = 1,57\) m/s) et le rayon (\(r = 5\) m) dans la formule, on a :
\[ a_c = \frac{(1,57)^2}{5} \] \[ a_c \approx 0,49 \text{ m/s}^2 \]
L’accélération centripète du cheval sur le manège est d’environ 0,49 m/s². Cette accélération est nécessaire pour changer la direction de la vitesse du cheval sans changer sa magnitude, permettant ainsi le mouvement circulaire.
Analyse du Mouvement Circulaire sur un Manège
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