Analyse du mouvement d’un projectile
Comprendre l’Analyse du mouvement d’un projectile
Sarah, une élève en classe de seconde, participe à un concours de lancement de fusées à eau dans le cadre de son cours de physique.
Elle construit une fusée qui expulse de l’eau pour générer une force de propulsion. Sarah lance la fusée depuis le sol avec un angle initial par rapport à l’horizontale et souhaite savoir jusqu’où sa fusée peut aller.
Données fournies:
- Vitesse initiale de la fusée (v₀) = 20 m/s.
- Angle de lancement par rapport à l’horizontale (θ) = 45°.
- Accélération due à la gravité (g) = 9,81 m/s².
- Masse de la fusée = 0,5 kg (la masse n’intervient pas directement dans les calculs pour cet exercice simplifié, mais peut être utilisée pour discuter des forces en jeu).
- La résistance de l’air est négligée dans ce problème.
Questions:
1. Calcul de la portée maximale :
Utilisez la formule de la portée maximale \( R = \frac{{v₀^2 \cdot \sin(2\theta)}}{g} \) pour déterminer la distance horizontale maximale que la fusée peut atteindre.
2. Calcul du temps total de vol :
Calculez le temps que la fusée passe en l’air.
3. Hauteur maximale atteinte :
Déterminez la hauteur maximale que la fusée atteint.
Correction : Analyse du mouvement d’un projectile
1. Calcul de la portée maximale (R)
La formule de la portée maximale d’un projectile lancé à un angle θ est donnée par :
\[ R = \frac{v₀^2 \cdot \sin(2\theta)}{g} \]
- Calcul de \( \sin(2\theta) \) pour \( \theta = 45° \): \( \sin(90°) = 1 \)
Substitution des valeurs dans la formule de la portée :
\[ R = \frac{(20 \text{ m/s})^2 \cdot 1}{9,81 \text{ m/s}^2} \] \[ R = \frac{400}{9,81} \] \[ R \approx 40,77 \text{ m} \]
La portée maximale de la fusée est d’environ 40,77 mètres.
2. Calcul du temps total de vol (t)
Le temps de vol total pour un projectile lancé à un angle θ est donné par :
\[ t = \frac{2 \cdot v₀ \cdot \sin(\theta)}{g} \]
- Calcul de \( \sin(\theta) \) pour \( \theta = 45° \): \( \sin(45°) \approx 0,707 \)
Substitution des valeurs dans la formule du temps de vol :
\[ t = \frac{2 \cdot 20 \text{ m/s} \cdot 0,707}{9,81 \text{ m/s}^2} \] \[ t = \frac{28,28}{9,81} \] \[ t \approx 2,88 \text{ s} \]
Le temps total de vol de la fusée est d’environ 2,88 secondes.
3. Calcul de la hauteur maximale (h)
La hauteur maximale atteinte par un projectile est donnée par :
\[ h = \frac{v₀^2 \cdot \sin^2(\theta)}{2 \cdot g} \]
- Calcul de \( \sin^2(\theta) \) pour \( \theta = 45° \): \( \sin^2(45°) \approx 0,5 \)
Substitution des valeurs dans la formule de la hauteur maximale :
\[ h = \frac{(20 \text{ m/s})^2 \cdot 0,5}{2 \cdot 9,81 \text{ m/s}^2} \] \[ h = \frac{200}{19,62} \] \[ h \approx 10,19 \text{ m} \]
La hauteur maximale que la fusée atteint est d’environ 10,19 mètres.
Conclusion
À travers ces calculs, Sarah peut comprendre comment la vitesse initiale et l’angle de lancement influencent la portée, le temps de vol et la hauteur maximale de sa fusée à eau.
Ces résultats lui permettront d’optimiser ses lancements pour des performances maximales lors du concours.
Analyse du mouvement d’un projectile
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