Calcul de k dans un ressort
Comprendre le Calcul de k dans un ressort
Alice, une élève en classe de première, réalise une expérience pour étudier les propriétés d’un ressort.
Elle attache une extrémité d’un ressort à un support fixe et suspend différentes masses à l’autre extrémité pour observer l’allongement du ressort.
Alice souhaite déterminer la constante de raideur du ressort, notée \( k \), et vérifier si le ressort obéit à la loi de Hooke.
Données fournies:
- Masses suspendues au ressort : \( m_1 = 200 \, \text{g} \), \( m_2 = 400 \, \text{g} \), \( m_3 = 600 \, \text{g} \)
- Allongements correspondants du ressort : \( x_1 = 5 \, \text{cm} \), \( x_2 = 10 \, \text{cm} \), \( x_3 = 15 \, \text{cm} \)
- Accélération due à la gravité : \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
Questions:
1. Convertissez les masses en kilogrammes en newtons.
2. Utilisez les données pour calculer la constante de raideur \( k \) du ressort pour chaque masse.
3. Vérifiez si les valeurs de \( k \) calculées sont constantes à travers les différents essais. Discutez des possibles raisons pour lesquelles elles pourraient varier.
4. Tracez un graphique de la force en fonction de l’allongement. Que pouvez-vous dire sur la relation entre la force et l’allongement à partir de ce graphique?
5. Sur la base de vos résultats et du graphique, concluez si le ressort suit la loi de Hooke sur la gamme de masses testées.
6. Si Alice utilise une masse de \( 800 \, \text{g} \), quel allongement peut-elle s’attendre à observer, basé sur vos calculs de \( k \) ? Prévoyez également l’allongement si la masse est doublée à \( 1.2 \, \text{kg} \).
Correction : Calcul de k dans un ressort
1. Conversion des unités
Pour convertir les masses en newtons, nous utilisons la formule \( F = mg \). Voici les conversions pour chaque masse :
- Pour \( m_1 = 200 \, \text{g} = 0.2 \, \text{kg} \):
\[ F_1 = 0.2 \times 9.81 \] \[ F_1 = 1.962 \, \text{N} \]
- Pour \( m_2 = 400 \, \text{g} = 0.4 \, \text{kg} \):
\[ F_2 = 0.4 \times 9.81 \] \[ F_2 = 3.924 \, \text{N} \]
- Pour \( m_3 = 600 \, \text{g} = 0.6 \, \text{kg} \):
\[ F_3 = 0.6 \times 9.81 \] \[ F_3 = 5.886 \, \text{N} \]
2. Calcul de la constante de raideur \( k \)
La constante de raideur \( k \) est calculée en utilisant la formule \( F = kx \), où \( x \) est l’allongement du ressort.
Convertissons d’abord les allongements en mètres :
- \( x_1 = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m} \)
- \( x_2 = 10 \, \text{cm} = 0.10 \, \text{m} \)
- \( x_3 = 15 \, \text{cm} = 0.15 \, \text{m} \)
Calculons \( k \) pour chaque cas :
\[ k_1 = \frac{F_1}{x_1} = \frac{1.962}{0.05} = 39.24 \, \text{N/m} \]
\[ k_2 = \frac{F_2}{x_2} = \frac{3.924}{0.10} = 39.24 \, \text{N/m} \]
\[ k_3 = \frac{F_3}{x_3} = \frac{5.886}{0.15} = 39.24 \, \text{N/m} \]
3. Vérification de la constance de \( k \)
Les valeurs de \( k \) calculées sont constantes à travers les différents essais, toutes égales à \( 39.24 \, \text{N/m} \). Cela suggère que le ressort obéit bien à la loi de Hooke pour les masses utilisées.
4. Graphique
Le graphique de la force en fonction de l’allongement devrait montrer une ligne droite passant par l’origine, confirmant une relation linéaire directe entre la force et l’allongement, ce qui est caractéristique de la loi de Hooke.
5. Application de la loi de Hooke
Les données et le graphique confirment que le ressort suit la loi de Hooke pour les plages de masses testées, car \( k \) reste constant et le graphique montre une relation linéaire.
6. Réflexion supplémentaire
Si Alice utilise une masse de \( 800 \, \text{g} \), la force correspondante est \( F = 0.8 \times 9.81 = 7.848 \, \text{N} \).
L’allongement attendu, en utilisant la constante de raideur \( k \) calculée, est :
\[ x = \frac{F}{k} = \frac{7.848}{39.24} \approx 0.2 \, \text{m} = 20 \, \text{cm} \]
Pour une masse de \( 1.2 \, \text{kg} \), la force est \( F = 1.2 \times 9.81 = 11.772 \, \text{N} \), et l’allongement serait :
\[ x = \frac{F}{k} = \frac{11.772}{39.24} \approx 0.3 \, \text{m} = 30 \, \text{cm} \]
Calcul de k dans un ressort
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