Calcul de la Taille d’Image à l’Aide des Lentilles
Contexte : Le monde à travers les lentilles.
L'optique géométrique est la branche de la physique qui étudie comment la lumière se propage et forme des images. Les lentilles mincesUne lentille est dite "mince" si son épaisseur est négligeable par rapport à sa distance focale et aux distances de l'objet et de l'image. Cette simplification est très utilisée au lycée., en particulier les lentilles convergentes, sont au cœur de nombreux instruments : appareils photo, loupes, microscopes, télescopes, et même nos propres yeux. Savoir calculer où une image va se former et quelle sera sa taille est une compétence fondamentale pour comprendre le fonctionnement de tous ces objets. Cet exercice vous guidera pour déterminer par le calcul les caractéristiques de l'image d'un objet formée par une lentille convergente.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des deux formules fondamentales de l'optique des lentilles minces. Nous allons utiliser des données sur un objet et une lentille pour prédire les propriétés de l'image. C'est une démarche essentielle qui relie les formules mathématiques à la construction de schémas optiques et à l'observation réelle.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la relation de conjugaison pour trouver la position d'une image.
- Calculer le grandissement transversal pour déterminer la taille et le sens de l'image.
- Distinguer une image réelle d'une image virtuelle.
- Maîtriser les notations et les conventions de signe en optique (\(\overline{OA}\), \(\overline{OA'}\), etc.).
- Faire le lien entre les résultats d'un calcul et la construction d'un schéma optique.
Données de l'étude
Schéma du montage optique
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance focale image | \(f' = \overline{OF'}\) | +15,0 | \(\text{cm}\) |
| Position de l'objet | \(\overline{OA}\) | -30,0 | \(\text{cm}\) |
| Taille de l'objet | \(\overline{AB}\) | +1,0 | \(\text{cm}\) |
Questions à traiter
- Calculer la position de l'image \(\overline{OA'}\) en utilisant la relation de conjugaison.
- Calculer le grandissement transversal \(\gamma\).
- En déduire la taille de l'image \(\overline{A'B'}\).
- Qualifier l'image obtenue (réelle ou virtuelle ? droite ou renversée ?).
Les bases de l'Optique Géométrique
Avant de plonger dans la correction, revoyons les deux formules essentielles pour les lentilles minces.
1. La Relation de Conjugaison :
Cette formule relie la position de l'objet (\(\overline{OA}\)) à la position de l'image (\(\overline{OA'}\)) et à la distance focale de la lentille (\(f'\)). C'est la loi fondamentale pour savoir où se forme l'image.
\[ \frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} \]
Attention, toutes les grandeurs sont algébriques : elles ont un signe (+ ou -) selon leur position par rapport au centre optique O.
2. Le Grandissement Transversal (\(\gamma\)) :
Le grandissement est un nombre sans unité qui compare la taille et l'orientation de l'image (\(\overline{A'B'}\)) à celles de l'objet (\(\overline{AB}\)). Il se calcule de deux manières :
\[ \gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \]
Son signe nous renseigne sur le sens de l'image, et sa valeur absolue sur sa taille relative.
3. Interpréter le Grandissement :
L'analyse du grandissement \(\gamma\) est cruciale :
- Si \(\gamma < 0\), l'image est renversée (par rapport à l'objet).
- Si \(\gamma > 0\), l'image est droite.
- Si \(|\gamma| > 1\), l'image est plus grande que l'objet.
- Si \(|\gamma| < 1\), l'image est plus petite que l'objet.
Correction : Calcul de la Taille d’Image à l’Aide des Lentilles
Question 1 : Calculer la position de l'image (\(\overline{OA'}\))
Principe (le concept physique)
La relation de conjugaison est une conséquence directe des lois de la réfraction de la lumière (loi de Snell-Descartes) appliquées à la géométrie d'une lentille. Elle exprime le fait que tous les rayons lumineux issus d'un point objet A convergent (ou semblent converger) vers un unique point image A' après avoir traversé la lentille.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour résoudre l'équation, on isole d'abord le terme inconnu \(1/\overline{OA'}\). Ensuite, on met les termes connus au même dénominateur pour effectuer l'addition. La dernière étape, cruciale, consiste à inverser la fraction obtenue pour trouver \(\overline{OA'}\) et non son inverse.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La plus grande difficulté est souvent la manipulation mathématique de la formule. Pour isoler \(\overline{OA'}\), il faut d'abord isoler le terme \(1/\overline{OA'}\) puis prendre l'inverse du résultat. Ne prenez jamais l'inverse de chaque terme séparément, c'est une erreur classique !
Normes (la référence réglementaire)
Les formules de conjugaison et les conventions de signe (axe optique orienté dans le sens de la lumière, grandeurs algébriques) sont des standards définis dans les programmes d'enseignement de la physique (comme le programme de l'Éducation Nationale en France) pour garantir une approche uniforme et cohérente.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On part de la relation de conjugaison et on isole le terme contenant la position de l'image :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On travaille dans les conditions de Gauss : la lentille est mince et les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l'axe optique. L'objet est perpendiculaire à l'axe.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Distance focale, \(f' = +15,0 \, \text{cm}\)
- Position de l'objet, \(\overline{OA} = -30,0 \, \text{cm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Remarquez que l'objet est placé exactement à \(2F\), c'est-à-dire à deux fois la distance focale de la lentille (\(-30,0 \, \text{cm} = 2 \times (-15,0 \, \text{cm})\)). C'est un cas particulier notable en optique. Si vous connaissez le résultat pour ce cas, vous pouvez prédire que l'image se formera à \(2F'\) et sera de même taille que l'objet, mais renversée.
Schéma (Avant les calculs)
Recherche de la position de l'image A'
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule en faisant attention aux signes.
On prend l'inverse pour trouver \(\overline{OA'}\) :
Schéma (Après les calculs)
Position de l'image A' trouvée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat \(\overline{OA'} = +30,0 \, \text{cm}\) est positif. Cela signifie que l'image se forme à 30,0 cm du centre optique O, du côté opposé à l'objet (dans le sens de propagation de la lumière). Une image qui se forme après la lentille est une image réelle.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est d'oublier le signe de \(\overline{OA}\). Par convention, tout ce qui est à gauche de la lentille est mesuré négativement. Omettre le signe "-" dans le calcul est une erreur majeure qui fausse complètement le résultat.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La relation de conjugaison lie la position de l'objet, de l'image et la distance focale.
- Il faut toujours isoler \(1/\overline{OA'}\) avant de calculer.
- Les grandeurs \(\overline{OA}\), \(\overline{OA'}\) et \(f'\) sont algébriques et doivent être utilisées avec leur signe.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La relation de conjugaison est parfois appelée "formule de Descartes", bien que sa forme moderne avec les inverses ait été développée plus tard. René Descartes, dans son traité "La Dioptrique" (1637), a été l'un des premiers à formuler mathématiquement les lois de la réfraction qui sont à la base de cette relation.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'objet était placé à \(\overline{OA} = -20,0 \, \text{cm}\), où se formerait l'image \(\overline{OA'}\) en cm ?
Question 2 : Calculer le grandissement transversal (\(\gamma\))
Principe (le concept physique)
Le grandissement compare la "sortie" (l'image) à "l'entrée" (l'objet). Il est défini par la géométrie du système, notamment par le rapport des positions de l'image et de l'objet. Il nous indique instantanément si l'image est agrandie ou réduite, et si elle est dans le même sens que l'objet ou inversée.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule \(\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}\) peut être démontrée facilement par la construction géométrique. Le rayon lumineux issu de B et passant par le centre optique O n'est pas dévié. Il forme, avec l'axe optique, deux triangles (OAB et OA'B') qui sont en configuration de Thalès. Le rapport des hauteurs (\(\overline{A'B'}/\overline{AB}\)) est donc égal au rapport des bases (\(\overline{OA'}/\overline{OA}\)).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le signe du grandissement est aussi important que sa valeur ! Un signe négatif signifie TOUJOURS que l'image est renversée. Un signe positif signifie TOUJOURS qu'elle est droite. C'est un réflexe à avoir : calculez, puis interprétez immédiatement le signe.
Normes (la référence réglementaire)
La définition du grandissement transversal comme le rapport \(\overline{A'B'}/\overline{AB}\) est une convention universelle en optique géométrique, assurant que les résultats sont interprétés de la même manière par tous.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule du grandissement utilisant les positions est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le rayon passant par le centre optique O n'est pas dévié, ce qui est l'une des approximations fondamentales des lentilles minces.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Position de l'image, \(\overline{OA'} = +30,0 \, \text{cm}\) (du calcul Q1)
- Position de l'objet, \(\overline{OA} = -30,0 \, \text{cm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Avant même de calculer, vous pouvez anticiper le signe. L'objet est à gauche (négatif) et vous avez trouvé que l'image est à droite (positive). Le rapport d'un nombre positif sur un nombre négatif sera forcément négatif. Vous savez donc que l'image sera renversée.
Schéma (Avant les calculs)
Triangles de Thalès pour le Grandissement
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique directement la formule.
Schéma (Après les calculs)
Rapport des positions
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le grandissement vaut -1,0. Le signe négatif indique que l'image est renversée. La valeur absolue de 1 indique que l'image a la même taille que l'objet. Cela confirme ce que nous avions prédit avec l'astuce de la question 1 (objet placé à 2F).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Le grandissement n'a pas d'unité ! C'est un rapport de deux longueurs, donc les unités (ici, les cm) s'annulent. Donner une unité au grandissement est une erreur conceptuelle.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le grandissement \(\gamma\) se calcule avec le rapport des positions \(\overline{OA'}/\overline{OA}\).
- Le signe de \(\gamma\) indique le sens de l'image (négatif = renversée).
- La valeur absolue de \(\gamma\) indique le rapport de taille.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans un projecteur (vidéoprojecteur ou projecteur de diapositives), on utilise une lentille convergente pour former une image réelle, renversée et très agrandie (\(|\gamma| \gg 1\)). Pour que l'image apparaisse droite sur l'écran, on doit donc insérer la diapositive ou orienter l'image numérique "à l'envers" dans l'appareil !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour l'objet placé à \(\overline{OA} = -20,0 \, \text{cm}\) (qui donne \(\overline{OA'} = +60,0 \, \text{cm}\)), quel serait le grandissement \(\gamma\) ?
Question 3 : En déduire la taille de l'image (\(\overline{A'B'}\))
Principe (le concept physique)
Connaissant le rapport des tailles (le grandissement) et la taille de départ (l'objet), on peut logiquement en déduire la taille finale (l'image). C'est une simple multiplication qui donne un sens concret au grandissement calculé précédemment.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La taille \(\overline{A'B'}\) est une grandeur algébrique, tout comme les positions. Son signe indique son orientation par rapport à l'axe optique. Par convention, une taille positive signifie que le point B' est au-dessus de l'axe (image droite si l'objet l'est), tandis qu'une taille négative signifie que B' est en dessous de l'axe (image renversée).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette étape est la conclusion logique des deux précédentes. Elle transforme un rapport abstrait (le grandissement) en une grandeur physique mesurable (la taille de l'image en centimètres). C'est souvent le résultat final que l'on cherche dans un problème d'optique pratique.
Normes (la référence réglementaire)
L'utilisation de grandeurs algébriques pour les tailles (\(\overline{AB}\), \(\overline{A'B'}\)) est, comme pour les positions, une convention standard de l'optique géométrique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise la première partie de la définition du grandissement et on l'isole :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'objet AB est de petite taille par rapport aux distances OA et OF', afin que le grandissement soit constant sur toute la hauteur de l'objet.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Grandissement, \(\gamma = -1,0\) (du calcul Q2)
- Taille de l'objet, \(\overline{AB} = +1,0 \, \text{cm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Si vous savez que l'image est renversée (d'après le signe de \(\gamma\)), vous savez que la taille \(\overline{A'B'}\) aura le signe opposé de \(\overline{AB}\). Si vous savez que \(|\gamma|=1\), vous savez que la valeur numérique sera la même. Vous pouvez donc trouver le résultat presque sans calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Recherche de la taille de l'image B'
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule.
Schéma (Après les calculs)
Taille de l'image B' trouvée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La taille de l'image est de -1,0 cm. La valeur de 1,0 cm confirme qu'elle a la même taille que l'objet. Le signe négatif confirme qu'elle est orientée vers le bas (renversée), puisque l'objet était orienté vers le haut (signe positif).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas de multiplier par la taille de l'objet ! Le grandissement seul ne donne qu'un rapport. Il faut toujours finaliser le calcul en le multipliant par la taille initiale \(\overline{AB}\) pour obtenir la taille finale \(\overline{A'B'}\) en cm.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La taille de l'image s'obtient par la formule \(\overline{A'B'} = \gamma \cdot \overline{AB}\).
- La taille \(\overline{A'B'}\) est une grandeur algébrique.
- Son signe indique son orientation par rapport à l'axe optique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La taille de l'image formée sur le capteur d'un appareil photo est cruciale. Pour un même objectif, un capteur plus grand (dit "Plein Format" ou "Full Frame") capture une plus grande partie de l'image circulaire formée par la lentille, ce qui donne un champ de vision plus large qu'un capteur plus petit (type APS-C ou Micro 4/3).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec \(\gamma = -3,0\) et \(\overline{AB} = +1,0 \, \text{cm}\), quelle serait la taille de l'image \(\overline{A'B'}\) en cm ?
Question 4 : Qualifier l'image obtenue
Principe (le concept physique)
Qualifier une image, c'est résumer ses trois caractéristiques principales : sa nature (réelle ou virtuelle), son sens (droite ou renversée) et sa taille relative (agrandie, réduite ou de même taille). Ces informations se déduisent directement des signes et des valeurs calculées précédemment.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La nature de l'image est directement liée au signe de sa position \(\overline{OA'}\). Si \(\overline{OA'} > 0\), les rayons émergents se croisent réellement : l'image est réelle. Si \(\overline{OA'} < 0\), les rayons émergents semblent provenir d'un point situé avant la lentille : l'image est virtuelle. Le sens et la taille sont, eux, directement donnés par l'analyse du grandissement \(\gamma\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Faire un tableau récapitulatif est une excellente méthode pour ne rien oublier. Pour chaque caractéristique (Nature, Sens, Taille), associez-lui la grandeur calculée (\(\overline{OA'}\) ou \(\gamma\)) et la conclusion que vous en tirez. C'est une façon claire et structurée de présenter votre réponse.
Normes (la référence réglementaire)
Les termes "réelle", "virtuelle", "droite", "renversée", "agrandie" et "réduite" constituent le vocabulaire standard et normalisé pour décrire une image en optique géométrique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Il n'y a pas de nouvelle formule ici, seulement l'interprétation des résultats précédents.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'observateur regarde l'image depuis l'espace image (à droite de la lentille).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(\overline{OA'} = +30,0 \, \text{cm}\)
- \(\gamma = -1,0\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Une image réelle formée par une seule lentille convergente est toujours renversée. Si vous trouvez une image réelle et droite, il y a certainement une erreur de signe dans votre calcul du grandissement !
Schéma (Avant les calculs)
Tableau des caractéristiques à déterminer
| Caractéristique | Conclusion ? |
|---|---|
| Nature (réelle/virtuelle) | ? |
| Sens (droite/renversée) | ? |
| Taille (agrandie/réduite/égale) | ? |
Calcul(s) (l'application numérique)
Cette étape est une synthèse, il n'y a pas de nouveau calcul.
Schéma (Après les calculs)
Construction de l'Image A'B' et ses caractéristiques
Réflexions (l'interprétation du résultat)
On synthétise les résultats des questions précédentes :
- Nature : On a calculé \(\overline{OA'} = +30,0 \, \text{cm}\). Un signe positif signifie que l'image se forme après la lentille. On peut la recueillir sur un écran. L'image est donc réelle.
- Sens : On a calculé \(\gamma = -1,0\). Un signe négatif signifie que l'image est orientée dans le sens opposé à l'objet. L'image est donc renversée.
- Taille : On a calculé \(|\gamma| = 1\). Une valeur absolue de 1 signifie que l'image a la même taille que l'objet.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez pas les conditions. La nature (réelle/virtuelle) dépend de la position \(\overline{OA'}\), tandis que le sens (droite/renversée) et la taille relative dépendent du grandissement \(\gamma\). Chaque grandeur a son rôle !
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(\overline{OA'} > 0 \Rightarrow\) Image réelle.
- \(\gamma < 0 \Rightarrow\) Image renversée.
- \(|\gamma| = 1 \Rightarrow\) Image de même taille.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les casques de réalité virtuelle (VR) utilisent des lentilles pour former une image virtuelle, droite et agrandie de deux petits écrans placés très près des yeux. Le cerveau a ainsi l'impression de regarder un seul grand écran très loin, ce qui crée l'illusion d'immersion et réduit la fatigue oculaire.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Une image est formée avec \(\overline{OA'} = -25 \, \text{cm}\) et \(\gamma = +2,5\). Comment la qualifieriez-vous ?
Outil Interactif : Paramètres de l'Image
Modifiez les paramètres de l'objet et de la lentille pour voir leur influence sur l'image formée. Observez comment la position et la taille de l'image changent sur le graphique.
Paramètres d'Entrée
Résultats Calculés
Le Saviez-Vous ?
L'œil humain fonctionne comme un appareil photo ! Le cristallin joue le rôle de la lentille convergente, et la rétine celui de l'écran (ou du capteur). L'image qui se forme sur notre rétine est donc, comme dans notre exercice, réelle et renversée. C'est notre cerveau qui "remet à l'endroit" l'image pour que nous percevions le monde tel que nous le connaissons.
Foire Aux Questions (FAQ)
Quelle est la différence entre une image réelle et une image virtuelle ?
Une image réelle se forme là où les rayons lumineux se croisent réellement après avoir traversé la lentille. On peut la projeter et la voir sur un écran (comme au cinéma). Une image virtuelle se forme là d'où les rayons semblent provenir. On ne peut pas la recueillir sur un écran, on ne peut la voir qu'en regardant à travers l'instrument d'optique (c'est le cas d'une loupe).
Que se passe-t-il si l'objet est placé entre le foyer F et la lentille O ?
Si l'objet est placé plus près de la lentille que le foyer objet F, la relation de conjugaison donne une position d'image \(\overline{OA'}\) négative. L'image est alors virtuelle, droite (\(\gamma > 1\)) et plus grande que l'objet. C'est le principe de la loupe.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. On utilise une lentille convergente comme une loupe. L'image obtenue est...
2. Si le grandissement \(\gamma\) vaut -0,5, cela signifie que l'image est...
- Relation de Conjugaison
- Formule mathématique (\(1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'\)) qui lie la position de l'objet, la position de l'image et la distance focale d'une lentille mince.
- Grandissement Transversal (\(\gamma\))
- Nombre sans dimension qui indique le rapport de taille et d'orientation entre l'image et l'objet. Il est donné par \(\gamma = \overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}\).
- Distance Focale (\(f'\))
- Distance entre le centre optique O et le foyer image F' d'une lentille. Elle est positive pour une lentille convergente et négative pour une lentille divergente.
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