Calcul de la Vitesse et de la Période d’un Satellite

Comprendre le Calcul de la Vitesse et de la Période d’un Satellite

Une entreprise aérospatiale prépare le lancement d’un satellite en orbite circulaire autour de la Terre. Le satellite doit être placé à une altitude où il peut effectuer une surveillance climatique précise.

Données :

Masse du satellite : \(600 \, \text{kg}\)
Rayon de la Terre : \(6.371 \times 10^6 \, \text{m}\)
Masse de la Terre : \(5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
Constante gravitationnelle : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2/\text{kg}^2\)
Altitude souhaitée pour l’orbite : \(400 \, \text{km}\) (au-dessus de la surface terrestre)

Calcul de la Vitesse et de la Période d'un Satellite

Questions :

1. Calculer la vitesse nécessaire pour que le satellite reste en orbite circulaire à l’altitude donnée.

2. Déterminer la période orbitale du satellite à cette altitude.

3. Quelle est l’énergie totale du satellite en orbite à cette altitude ?

Correction : Calcul de la Vitesse et de la Période d’un Satellite

1. Calcul de la vitesse nécessaire pour une orbite circulaire

Pour qu’un satellite maintienne une orbite circulaire, sa vitesse doit être suffisante pour contrebalancer la force gravitationnelle qui l’attire vers la Terre. Cette vitesse est appelée la vitesse orbitale et elle peut être calculée à l’aide de la formule de la vitesse orbitale pour une orbite circulaire.

Formule:

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]

Où:

\(G\) est la constante gravitationnelle (\(6.674 \times 10^{-11}\, \text{N}\,m^2/kg^2\))
\(M\) est la masse de la Terre (\(5.972 \times 10^{24}\, \text{kg}\))
\(r\) est le rayon total de l’orbite, qui est la somme du rayon de la Terre et de l’altitude du satellite (\(r = R_{\text{Terre}} + \text{altitude}\))

Données:

Rayon de la Terre, \(R_{\text{Terre}} = 6.371 \times 10^6\, \text{m}\)
Altitude du satellite, \(\text{altitude} = 400 \times 10^3\, \text{m}\) (400 km)

Calcul:

\[ r = 6.371 \times 10^6\, \text{m} + 400 \times 10^3\, \text{m} \] \[ r = 6.771 \times 10^6\, \text{m} \]

\[ v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{6.771 \times 10^6}} \] \[ v = \sqrt{\frac{3.986 \times 10^{14}}{6.771 \times 10^6}} \] \[ v = \sqrt{5.891 \times 10^7} \] \[ v \approx 7677\, \text{m/s} \]

Le satellite doit donc avoir une vitesse d’environ 7677 m/s pour maintenir une orbite circulaire à 400 km d’altitude.

2. Détermination de la période orbitale du satellite

La période orbitale est le temps qu’il faut au satellite pour effectuer une orbite complète autour de la Terre. Elle peut être calculée en divisant la circonférence de l’orbite par la vitesse orbitale.

Formule :

\[ T = \frac{2\pi r}{v} \]

Calcul :

\[ T = \frac{2\pi \times 6.771 \times 10^6}{7677} \] \[ T \approx \frac{42.514 \times 10^6}{7677} \] \[ T \approx 5537 \, \text{s} \]

La période orbitale du satellite est donc d’environ 5537 secondes, ou environ 92 minutes.

3. Calcul de l’énergie totale du satellite en orbite

L’énergie totale du satellite en orbite est la somme de son énergie potentielle gravitationnelle et de son énergie cinétique. L’énergie totale est négative, indiquant que le satellite est lié gravitationnellement à la Terre.

Formules :

Énergie cinétique:

\[ K = \frac{1}{2} mv^2 \]

Énergie potentielle:

\[ U = -\frac{GMm}{r} \]

Énergie totale:

\[ E = K + U \]

Calcul de l’énergie cinétique :

\[ K = \frac{1}{2} \times 600 \times 7677^2 \] \[ K = \frac{1}{2} \times 600 \times 5.891 \times 10^7 \] \[ K = 1.767 \times 10^{10} \, \text{J} \]

Calcul de l’énergie potentielle :

\[ U = -\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 600}{6.771 \times 10^6} \] \[ U = -\frac{2.405 \times 10^{14}}{6.771 \times 10^6} \] \[ U = -3.55 \times 10^{10} \, \text{J} \]

Énergie totale :

\[ E = 1.767 \times 10^{10} \, \text{J} – 3.55 \times 10^{10} \, \text{J} \] \[ E = -1.783 \times 10^{10} \, \text{J} \]

L’énergie totale du satellite en orbite est donc d’environ \(-1.783 \times 10^{10}\) joules, indiquant qu’il est bien en orbite liée autour de la Terre.

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