Calcul de l’accélération angulaire
Comprendre le Calcul de l’accélération angulaire
Un ingénieur est chargé de concevoir un nouveau type de roue de montagnes russes qui doit accélérer rapidement pour offrir des sensations fortes aux passagers.
La roue est conçue pour pivoter autour de son axe central et l’ingénieur doit calculer l’accélération angulaire nécessaire pour atteindre les vitesses souhaitées en un temps spécifique.
Données fournies :
- Rayon de la roue (R) : 5 mètres.
- Vitesse angulaire initiale (ω₀) : 0 rad/s (démarrage à l’arrêt).
- Vitesse angulaire finale souhaitée (ω) : 10 rad/s.
- Temps requis pour atteindre la vitesse finale (Δt) : 2 secondes.
Questions :
1. Calculez l’accélération angulaire nécessaire pour que la roue atteigne la vitesse angulaire finale de 10 rad/s en 2 secondes.
2. Déterminez la distance angulaire totale parcourue par la roue pendant cette accélération.
Correction : Calcul de l’accélération angulaire
1. Calcul de l’accélération angulaire
Nous avons les données suivantes :
- Vitesse angulaire initiale, \( \omega_0 = 0 \) rad/s
- Vitesse angulaire finale, \( \omega = 10 \) rad/s
- Temps requis pour atteindre cette vitesse, \( \Delta t = 2 \) secondes
Nous appliquons la formule de l’accélération angulaire :
\[ \alpha = \frac{\omega – \omega_0}{\Delta t} \]
Substituons les valeurs :
\[ \alpha = \frac{10 \, \text{rad/s} – 0 \, \text{rad/s}}{2 \, \text{s}} \] \[ \alpha = \frac{10 \, \text{rad/s}}{2 \, \text{s}} \] \[ \alpha = 5 \, \text{rad/s}^2 \]
L’accélération angulaire nécessaire est de 5 rad/s\(^2\).
2. Calcul de la distance angulaire parcourue
Pour calculer la distance angulaire \( \theta \) parcourue pendant l’accélération, nous utilisons la formule suivante :
\[ \theta = \omega_0 \Delta t + \frac{1}{2} \alpha \Delta t^2 \]
Substituons les valeurs :
\[ \theta = 0 \, \text{rad/s} \times 2 \, \text{s} + \frac{1}{2} \times 5 \, \text{rad/s}^2 \times (2 \, \text{s})^2 \] \[ \theta = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \] \[ \theta = \frac{1}{2} \times 20 \] \[ \theta = 10 \, \text{radians} \]
La distance angulaire totale parcourue par la roue pendant cette accélération est de 10 radians.
Conclusion
Pour que la roue de montagnes russes atteigne la vitesse angulaire finale de 10 rad/s à partir de l’arrêt en seulement 2 secondes, une accélération angulaire de 5 rad/s\(^2\) est nécessaire.
Pendant ce temps, la roue parcourt une distance angulaire totale de 10 radians. Ces calculs sont essentiels pour garantir la conception sécurisée et efficace des attractions de montagnes russes, tout en offrant les sensations fortes souhaitées.
Calcul de l’accélération angulaire
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