Calcul de l’Épaisseur Nécessaire du Matelas
Comprendre le Calcul de l’Épaisseur Nécessaire du Matelas
Lors d’une compétition de saut à la perche, les athlètes utilisent un matelas pour atterrir en toute sécurité. La fédération internationale d’athlétisme envisage de standardiser les dimensions des matelas pour optimiser la sécurité des sauteurs. Vous êtes chargé de proposer des recommandations sur l’épaisseur idéale du matelas, en tenant compte de l’énergie cinétique des athlètes lors de leur atterrissage.
Données nécessaires:
- Masse moyenne d’un sauteur : 70 kg
- Hauteur maximale atteinte par les meilleurs sauteurs : 6 mètres
- La constante gravitationnelle (g) est de 9,81 m/s².
Questions:
1. Calcul de la vitesse à l’impact :
- Calculez la vitesse d’un sauteur au moment de l’impact avec le matelas, en supposant qu’il tombe de la hauteur maximale atteinte sans vitesse initiale.
2. Énergie cinétique à l’impact :
- Utilisez la vitesse calculée pour déterminer l’énergie cinétique du sauteur au moment de l’impact avec le matelas.
3. Impact de l’épaisseur du matelas sur l’absorption d’énergie :
- Supposons que le matelas absorbe toute l’énergie cinétique lors de l’impact. Si l’épaisseur du matelas est directement proportionnelle à l’énergie qu’il peut absorber, quelle devrait être l’épaisseur minimale du matelas pour absorber toute l’énergie cinétique sans rebondir le sauteur ? Utilisez la relation : \(E = \frac{1}{2} k x^2\) où \( E \) est l’énergie cinétique, \( k = 5000 \, N/m \) est une constante de raideur du matelas, et \( x \) est la compression du matelas en mètres.
4. Recommandations :
- Sur la base de vos calculs, quelle épaisseur de matelas recommanderiez-vous pour garantir la sécurité des sauteurs tout en minimisant l’encombrement du matériel ? Expliquez pourquoi cette épaisseur est suffisante.
5. Influence de la masse du sauteur :
- Comment l’épaisseur recommandée du matelas changerait-elle si la masse du sauteur variait de 50 kg à 90 kg ? Calculez pour quelques valeurs typiques et discutez des implications pour les standards de sécurité.
Correction : Calcul de l’Épaisseur Nécessaire du Matelas
1. Calcul de la vitesse à l’impact
La vitesse à l’impact est calculée pour déterminer à quelle vitesse un sauteur touche le matelas après une chute libre depuis sa hauteur maximale.
Formule:
\[ v = \sqrt{2gh} \]
Données:
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\) (accélération due à la gravité)
- \(h = 6 \, \text{m}\) (hauteur maximale atteinte)
Calcul:
\[ v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6} \] \[ v = \sqrt{117.72} \] \[ v \approx 10.85 \, \text{m/s} \]
2. Énergie cinétique à l’impact
L’énergie cinétique à l’impact est calculée pour comprendre la quantité d’énergie que le matelas doit absorber pour garantir un atterrissage sûr.
Formule:
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]
Données:
- \(m = 70 \, \text{kg}\) (masse du sauteur)
- \(v = 10.85 \, \text{m/s}\) (vitesse à l’impact)
Calcul:
\[ E_k = \frac{1}{2} \times 70 \times 10.85^2 \] \[ E_k \approx 4123.94 \, \text{joules} \]
3. Impact de l’épaisseur du matelas sur l’absorption d’énergie
Cette question explore l’épaisseur du matelas nécessaire pour absorber toute l’énergie cinétique sans que le sauteur ne rebondisse dangereusement.
Formule:
\[ E = \frac{1}{2} k x^2 \]
Données:
- \(E = 4123.94 \, \text{joules}\) (énergie cinétique)
- \(k = 5000 \, \text{N/m}\) (constante de raideur du matelas)
Calcul:
\[ x^2 = \frac{2 \times 4123.94}{5000} \] \[ x^2 = 1.649576 \] \[ x \approx \sqrt{1.649576} \] \[ x \approx 1.28 \, \text{m} \]
4. Recommandations
Sur la base des résultats des calculs précédents, nous déterminons l’épaisseur idéale du matelas pour assurer la sécurité des sauteurs.
Recommandation :
Une épaisseur de matelas d’environ 1,3 mètres est recommandée pour absorber efficacement l’énergie cinétique d’un sauteur de 70 kg tombant d’une hauteur de 6 mètres, ce qui garantit à la fois sécurité et performance.
5. Influence de la masse du sauteur
Cette question examine comment l’épaisseur nécessaire du matelas varie en fonction de la masse du sauteur, offrant une perspective sur la standardisation des équipements de sécurité.
A. Pour une masse de 50 kg:
Énergie cinétique à l’impact :
Formule :
\[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 \]
Données :
- \(m = 50\, \text{kg}\)
- \(v = 10.85\, \text{m/s}\) (vitesse à l’impact calculée précédemment pour la hauteur de 6 m)
Calcul :
\[ E_k = \frac{1}{2} \times 50 \times 10.85^2 \] \[ E_k \approx \frac{1}{2} \times 50 \times 117.8225 \] \[ E_k \approx 2941.39\,joules \]
Épaisseur du matelas :
Formule :
\[ x \approx \sqrt{\frac{2E_k}{k}} \]
Données :
- \(E = 2941.39\, \text{joules}\)
- \(k = 5000\, \text{N/m}\)
Calcul :
\[ x \approx \sqrt{\frac{2 \times 2941.39}{5000}} \] \[ x \approx 1.08\, \text{m} \]
B. Pour une masse de 90 kg:
Énergie cinétique à l’impact :
Formule :
\[ E_k = \frac{1}{2}mv^2 \]
Données :
- \(m = 90\, \text{kg}\)
- \(v = 10.85\, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ E_k = \frac{1}{2} \times 90 \times 10.85^2 \] \[ E_k \approx \frac{1}{2} \times 90 \times 117.8225 \] \[ E_k \approx 5302.29\,joules \]
Épaisseur du matelas :
Formule :
\[ x \approx \sqrt{\frac{2E_k}{k}} \]
Données :
- \(E = 5302.29\, \text{joules}\)
- \(k = 5000\, \text{N/m}\)
Calcul :
\[ x \approx \sqrt{\frac{2 \times 5302.29}{5000}} \] \[ x \approx 1.46\,m \]
Discussion:
Les calculs montrent que l’épaisseur recommandée du matelas varie avec la masse du sauteur :
- Pour un sauteur de 50 kg, une épaisseur de 1,08 mètres est nécessaire.
- Pour un sauteur de 90 kg, l’épaisseur doit être d’environ 1,46 mètres.
Calcul de l’Épaisseur Nécessaire du Matelas
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