Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet
Comprendre le Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet
Un petit avion réalise une mission de reconnaissance au-dessus d’une région montagneuse. Il doit survoler trois points d’intérêt, désignés A, B et C, situés sur un même plan horizontal.
Ces points sont atteints respectivement aux temps donnés ci-dessous, avec les positions suivantes :
Données:
- Point A : Position \((0, 0)\) m au temps \(t_A = 0\) secondes.
- Point B : Position \((1500, 1000)\) m au temps \(t_B = 300\) secondes.
- Point C : Position \((3500, 500)\) m au temps \(t_C = 700\) secondes.
Objectif:
Calculer le vecteur vitesse moyenne de l’avion entre chaque paire de points (de A à B, puis de B à C).
Questions:
1. Calculer le vecteur déplacement de A à B.
2. Calculer le vecteur déplacement de B à C.
3. Calculer les vecteurs vitesse moyenne:
- Déterminer le vecteur vitesse moyenne de A à B.
- Déterminer le vecteur vitesse moyenne de B à C.
4. Analyser et comparer les deux vecteurs vitesses.
Correction : Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet
1. Calcul du vecteur déplacement de A à B
- Position de A : \(\vec{r}_A = (0, 0)\) m
- Position de B : \(\vec{r}_B = (1500, 1000)\) m
- Temps écoulé : \(\Delta t_{AB} = t_B – t_A = 300 – 0 = 300\) s
Vecteur déplacement:
\[ \vec{d}_{AB} = \vec{r}_B – \vec{r}_A \] \[ \vec{d}_{AB} = (1500 – 0, 1000 – 0) \] \[ \vec{d}_{AB} = (1500, 1000)\, \text{m} \]
2. Calcul du vecteur déplacement de B à C
- Position de C : \(\vec{r}_C = (3500, 500)\) m
- Temps écoulé : \(\Delta t_{BC} = t_C – t_B = 700 – 300 = 400\) s
Vecteur déplacement:
\[ \vec{d}_{BC} = \vec{r}_C – \vec{r}_B \] \[ \vec{d}_{BC} = (3500 – 1500, 500 – 1000) \] \[ \vec{d}_{BC} = (2000, -500)\, \text{m} \]
3. Calcul des Vecteurs Vitesse Moyenne
Vecteur vitesse moyenne de A à B
\[ \vec{v}_{AB} = \frac{\vec{d}_{AB}}{\Delta t_{AB}} \] \[ \vec{v}_{AB} = \left(\frac{1500}{300}, \frac{1000}{300}\right) \] \[ \vec{v}_{AB} = (5, 3.33)\, \text{m/s} \]
Vecteur vitesse moyenne de B à C
\[ \vec{v}_{BC} = \frac{\vec{d}_{BC}}{\Delta t_{BC}} \] \[ \vec{v}_{BC} = \left(\frac{2000}{400}, \frac{-500}{400}\right) \] \[ \vec{v}_{BC} = (5, -1.25)\, \text{m/s} \]
4. Analyse et Comparaison des Vecteurs Vitesse
Comparaison des magnitudes des vitesses:
- Magnitude de \(\vec{v}_{AB}\):
\[ |\vec{v}_{AB}| = \sqrt{5^2 + 3.33^2} \] \[ |\vec{v}_{AB}| = \sqrt{25 + 11.09} \] \[ |\vec{v}_{AB}| = \sqrt{36.09} \] \[ |\vec{v}_{AB}| \approx 6.01\, \text{m/s} \]
- Magnitude de \(\vec{v}_{BC}\):
\[ |\vec{v}_{BC}| = \sqrt{5^2 + (-1.25)^2} \] \[ |\vec{v}_{BC}| = \sqrt{25 + 1.56} \] \[ |\vec{v}_{BC}| = \sqrt{26.56} \] \[ |\vec{v}_{BC}| \approx 5.16\, \text{m/s} \]
Discussion
Les calculs montrent que l’avion a maintenu une composante horizontale de la vitesse constante à 5 m/s tout au long du vol de A à C.
Cependant, la composante verticale de la vitesse a diminué, passant de 3.33 m/s à -1.25 m/s, indiquant une réduction dans la vitesse verticale alors que l’avion se dirigeait vers le point C.
La magnitude totale de la vitesse a également légèrement diminué, ce qui pourrait refléter une manœuvre délibérée pour ralentir lors de l’approche du point C ou une réponse aux conditions aériennes.
Calcul du Vecteur Vitesse sur un Trajet
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