Constante de Désintégration d’Isotope X
Comprendre la Constante de Désintégration d’Isotope X
Dans une étude sur la radioactivité, un laboratoire a isolé un échantillon contenant l’isotope radioactif X.
L’objectif est de déterminer la constante de désintégration radioactive de cet isotope, en utilisant les données recueillies pendant l’expérience.
Données:
- Activité initiale de l’isotope X, \( A_0 \): 5000 désintégrations par seconde (Bq).
- Activité mesurée après un temps \( t \) de 5 heures (18000 secondes), \( A(t) \): 3500 Bq.
Question:
Calculer la constante de désintégration radioactive \( \lambda \) de l’isotope X.
Correction : Constante de Désintégration d’Isotope X
Données :
- Activité initiale de l’isotope radioactif X, \( A_0 \): 5000 désintégrations par seconde (Bq)
- Activité mesurée après un temps \( t \) de 5 heures (18000 secondes), \( A(t) \): 3500 Bq
Formule utilisée :
La loi de désintégration radioactive s’exprime par:
\[ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \]
Étape 1: Insérer les valeurs dans la formule
En remplaçant par les valeurs fournies:
\[ 3500 = 5000 \times e^{-\lambda \times 18000} \]
Diviser les deux côtés par 5000 pour isoler l’exponentielle:
\[ \frac{3500}{5000} = e^{-\lambda \times 18000} \] \[ 0.7 = e^{-\lambda \times 18000} \]
Étape 2: Application du logarithme naturel
Appliquer le logarithme naturel de chaque côté pour résoudre \( \lambda \):
\[ \ln(0.7) = -\lambda \times 18000 \]
Calculer le logarithme de 0.7:
\[ \ln(0.7) \approx -0.3567 \]
Résoudre pour \( \lambda \):
\[ -0.3567 = -\lambda \times 18000 \] \[ \lambda = \frac{-0.3567}{-18000} \] \[ \lambda \approx 1.982 \times 10^{-5} \, \text{s}^{-1} \]
Conclusion et interprétation
Le résultat final pour la constante de désintégration radioactive \( \lambda \) de l’isotope X est \( 1.982 \times 10^{-5} \, \text{s}^{-1} \). Ce calcul indique la fréquence à laquelle les noyaux de l’isotope X se désintègrent chaque seconde.
Plus \( \lambda \) est élevé, plus la substance se désintègre rapidement, réduisant ainsi sa radioactivité et, par conséquent, son potentiel de danger sur une période plus courte.
Constante de Désintégration d’Isotope X
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