Equation de la trajectoire de la fusée
Comprendre l’Equation de la trajectoire de la fusée
Un groupe de chercheurs en aérospatiale teste un nouveau prototype de fusée à petite échelle. La fusée est lancée d’une plateforme située sur un terrain plat pour analyser son comportement dynamique en vol.
L’objectif est de déterminer l’équation de la trajectoire de la fusée et de prédire le point d’impact au sol.
Données Fournies:
- Vitesse initiale de la fusée, \( v_0 = 150 \) m/s
- Angle de lancement, \( \theta = 53^\circ \)
- Accélération due à la gravité, \( g = 9.81 \) m/s\(^2\)
- Résistance de l’air: Négligée pour simplifier les calculs
- Altitude initiale: Lancée du niveau du sol
Questions:
1. Équation de la Trajectoire:
- Utilisez les équations paramétriques du mouvement projectile pour dériver l’équation de la trajectoire \( y(x) \) de la fusée.
- Exprimez \( y \) en fonction de \( x \) en éliminant le paramètre temps \( t \).
2. Point d’Impact:
- Calculez la distance horizontale \( x \) parcourue par la fusée au moment où elle retouche le sol.
- Déterminez également la durée du vol jusqu’à l’impact.
Correction : Equation de la trajectoire de la fusée
1. Équation de la Trajectoire
Données fournies:
- Vitesse initiale, \( v_0 = 150 \) m/s
- Angle de lancement, \( \theta = 53^\circ \)
- Accélération due à la gravité, \( g = 9.81 \) m/s\(^2\)
- \( \cos(53^\circ) \approx 0.6018 \)
- \( \sin(53^\circ) \approx 0.7986 \)
Formulation des équations paramétriques:
- Équation horizontale:
\[ x(t) = v_0 \cos(\theta) \cdot t \] \[ x(t) = 150 \times 0.6018 \times t \] \[ x(t) = 90.27t \]
- Équation verticale:
\[ y(t) = v_0 \sin(\theta) \cdot t – \frac{1}{2} g t^2 \] \[ y(t) = 150 \times 0.7986 \times t – 4.905t^2 \] \[ y(t) = 119.79t – 4.905t^2 \]
Élimination de \( t \) pour obtenir \( y \) en fonction de \( x \):
Pour éliminer \( t \) et exprimer \( y \) uniquement en fonction de \( x \), nous utilisons la relation trouvée dans l’équation horizontale pour \( t \):
\[ t = \frac{x}{90.27} \]
Substituons cette expression dans l’équation de \( y(t) \):
\[ y(x) = 119.79 \left(\frac{x}{90.27}\right) – 4.905 \left(\frac{x}{90.27}\right)^2 \] \[ y(x) = \frac{119.79}{90.27} \cdot x – \frac{4.905}{90.27^2} \cdot x^2 \] \[ y(x) = 1.327x – 0.000601x^2 \]
Cette formule représente la trajectoire de la fusée, exprimée en fonction de \( x \).
2. Point d’Impact
Calcul du point d’impact sur le sol (où \( y(x) = 0 \)):
\[ 0 = 1.327x – 0.000601x^2 \]
Factorisons \( x \):
\[ x(1.327 – 0.000601x) = 0 \]
Cette équation a deux solutions:
1. \( x = 0 \) (au moment du lancement)
2. \( 1.327 – 0.000601x = 0 \) donne:
\[ x = \frac{1.327}{0.000601} \] \[ x \approx 2207.15\, \text{mètres} \]
Durée du vol jusqu’à l’impact:
Nous calculons le temps \( t \) pour cette valeur de \( x \) en utilisant l’équation pour \( t \) dérivée de la composante horizontale:
\[ t = \frac{2207.15}{90.27} \] \[ t \approx 24.45\, \text{secondes} \]
Conclusion:
La fusée parcourt une distance horizontale d’environ 2207.15 mètres avant de retomber au sol, et le vol dure environ 24.45 secondes.
Cette correction explique clairement chaque étape du processus de résolution, y compris la manière dont les variables temps \( t \) et distance horizontale \( x \) sont liées et utilisées pour dériver l’équation de la trajectoire \( y(x) \) et calculer le point d’impact et la durée du vol.
Cela permet une compréhension approfondie et précise des concepts physiques en jeu.
Equation de la trajectoire de la fusée
D’autres exercice de physique université:
0 commentaires