Équilibre Statique sur un Plan Incliné

Équilibre Statique sur un Plan Incliné

Comprendre l’Équilibre Statique sur un Plan Incliné

Un mobile de masse \(m\) est posé sur un plan incliné qui fait un angle \(\alpha\) avec l’horizontale. Le coefficient de frottement statique entre le mobile et le plan incliné est \(\mu\).

L’objectif de cet exercice est de déterminer sous quelles conditions le mobile est en équilibre et de calculer l’angle maximum pour lequel le mobile reste immobile.

Données:

  • Masse du mobile, \(m = 5\, \text{kg}\)
  • Angle du plan incliné, \(\alpha\)
  • Coefficient de frottement statique, \(\mu = 0.3\)
    Équilibre Statique sur un Plan Incliné

    Questions:

    1. Expression des forces :

    • Déterminez les composantes de la force gravitationnelle agissant sur le mobile parallèlement et perpendiculairement au plan incliné.

    2. Condition d’équilibre :

    • Établissez l’expression de la force de frottement nécessaire pour maintenir le mobile en équilibre. Utilisez cette expression pour trouver la condition d’équilibre en fonction de \(\alpha\) et \(\mu\).

    3. Angle maximum :

    • Calculez l’angle maximum \(\alpha_{\text{max}}\) pour lequel le mobile ne glisse pas sur le plan. Assurez-vous de prendre en compte le frottement statique dans votre calcul.

    Correction : Équilibre Statique sur un Plan Incliné

    Données:

    • Masse du mobile, \(m = 5\, \text{kg}\)
    • Coefficient de frottement statique, \(\mu = 0.3\)
    • Accélération due à la gravité, \(g = 9.81\, \text{m/s}^2\)

    1. Expression des forces

    • Force gravitationnelle parallèle au plan (\(F_{\text{par}}\)):

    \[ F_{\text{par}} = mg \sin(\alpha) \]

    Substituons les valeurs :

    \[ F_{\text{par}} = 5 \times 9.81 \times \sin(\alpha) \] \[ F_{\text{par}} = 49.05 \sin(\alpha)\, \text{N} \]

    • Force gravitationnelle perpendiculaire au plan (\(F_{\text{perp}}\)):

    \[ F_{\text{perp}} = mg \cos(\alpha) \]

    Substituons les valeurs :

    \[ F_{\text{perp}} = 5 \times 9.81 \times \cos(\alpha) \] \[ F_{\text{perp}} = 49.05 \cos(\alpha)\, \text{N} \]

    2. Condition d’équilibre

    • Force de frottement nécessaire pour maintenir l’équilibre (\(F_{\text{friction}}\)):

    \[ F_{\text{friction}} = \mu F_{\text{perp}} \]

    Substituons les valeurs :

    \[ F_{\text{friction}} = 0.3 \times 49.05 \cos(\alpha) \] \[ F_{\text{friction}} = 14.715 \cos(\alpha)\, \text{N} \]

    • Condition pour l’équilibre :

    \[ \mu mg \cos(\alpha) \geq mg \sin(\alpha) \] \[ 14.715 \cos(\alpha) \geq 49.05 \sin(\alpha) \] \[ 0.3 \cos(\alpha) \geq \sin(\alpha) \] \[ \tan(\alpha) \leq \mu = 0.3 \]

    3. Angle maximum (\(\alpha_{\text{max}}\))

    • Calcul de \(\alpha_{\text{max}}\) :

    \[ \alpha_{\text{max}} = \arctan(\mu) \] \[ \alpha_{\text{max}} = \arctan(0.3) \approx 16.7^\circ \]

    Conclusion

    Le mobile reste en équilibre sur le plan incliné tant que l’angle \(\alpha\) est inférieur ou égal à \(16.7^\circ\).

    Si l’angle dépasse cette valeur, la force de frottement ne sera plus suffisante pour contrebalancer la force gravitationnelle parallèle, entraînant le glissement du mobile.

    Équilibre Statique sur un Plan Incliné

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