Étude de la Poussée d’Archimède en Parapente

1. Calcul de la poussée d’Archimède

Formule utilisée

La poussée d’Archimède est égale au poids du fluide déplacé par le corps. Elle s’exprime par :

\[ F_{A} = \rho \times V \times g \]

Calcul du volume déplacé

On considère un volume formé par la surface de la voile et une hauteur de 1 m :

\[ V = S \times h \] \[ V = 25 \, \text{m}^2 \times 1 \, \text{m} \] \[ V = 25 \, \text{m}^3 \]

Substitution des valeurs

Substituons dans l’équation de la poussée :

\[ F_{A} = 1,06 \, \text{kg/m}^3 \times 25 \, \text{m}^3 \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \]

Calcul détaillé

1. Produit de la densité par le volume :

\[ 1,06 \times 25 = 26,5 \, \text{kg} \]

Ce nombre représente la masse d’air déplacée.

2. Multiplication par \(g\) pour obtenir la force (en newtons) :

\[ F_{A} = 26,5 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \] \[ F_{A} \approx 260 \, \text{N} \]

Résultat : La poussée d’Archimède que subit le parapente est d’environ 260 N.

2. Analyse de la stabilité en l’air

Calcul du poids total de Lucas et son équipement

La masse totale est la somme de la masse de Lucas et de celle de son équipement :

\[ m_{\text{total}} = m_{\text{Lucas}} + m_{\text{équip}} \] \[ m_{\text{total}} = 50 \, \text{kg} + 15 \, \text{kg} \] \[ m_{\text{total}} = 65 \, \text{kg} \]

Le poids \(P\) correspondant est donné par :

\[ P = m_{\text{total}} \times g \] \[ P = 65 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \]

Calculons ce poids :

\[ P \approx 65 \times 9,81 \] \[ P \approx 637,65 \, \text{N} \]

Comparaison avec la poussée d’Archimède

- Poussée d’Archimède : \( \approx 260 \, \text{N} \).

- Poids total : \( \approx 637,65 \, \text{N} \).

Pour que Lucas puisse rester en suspension uniquement par effet de la poussée d’Archimède, il faudrait que :

\[ F_{A} \geq P \]

Or, ici :

\[ 260 \, \text{N} < 637,65 \, \text{N} \]

Conclusion sur la stabilité : La poussée d’Archimède fournie par le volume d’air déplacé (260 N) est nettement insuffisante pour compenser le poids total de Lucas et son équipement (637,65 N). Donc, ils ne peuvent pas rester stables et suspendus en l’air uniquement grâce à cet effet de flottabilité.

3. Analyse supplémentaire : Diminution de la densité de l’air de 10%

Nouvelle densité

Une diminution de 10% de la densité initiale \(\rho = 1,06 \, \text{kg/m}^3\) conduit à :

\[ \rho_{\text{nouvelle}} = 1,06 \times (1 - 0,10) \] \[ \rho_{\text{nouvelle}} = 1,06 \times 0,90 \] \[ \rho_{\text{nouvelle}} = 0,954 \, \text{kg/m}^3 \]

Calcul de la nouvelle poussée d’Archimède

On refait le calcul de la poussée d’Archimède avec la nouvelle densité :

\[ F_{A,\text{nouvelle}} = \rho_{\text{nouvelle}} \times V \times g \]

Sachant que \( V = 25 \, \text{m}^3 \) et \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) :

1. Produit de la nouvelle densité par le volume :

\[ 0,954 \, \text{kg/m}^3 \times 25 \, \text{m}^3 = 23,85 \, \text{kg} \]

2. Multiplication par \(g\) :

\[ F_{A,\text{nouvelle}} = 23,85 \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 \] \[ F_{A,\text{nouvelle}} \approx 234 \, \text{N} \]

Impact sur la stabilité

- Ancienne poussée d’Archimède : \(260 \, \text{N}\).

- Nouvelle poussée d’Archimède : \(234 \, \text{N}\).

Le poids total reste inchangé à environ \(637,65 \, \text{N}\). La diminution de la densité entraîne une réduction de la poussée d’Archimède, ce qui aggrave encore l’insuffisance de la force ascendante nécessaire pour contrebalancer le poids.

Conclusion : La nouvelle poussée d’Archimède est d’environ 234 N. Cette diminution entraîne une situation où la flottabilité est encore moins capable de compenser le poids de Lucas et de son équipement, renforçant ainsi le constat que Lucas ne pourra pas rester suspendu en l’air par la seule action de la poussée d’Archimède.