Évaluation de la Vitesse en Fin de Descente
Comprendre l’Évaluation de la Vitesse en Fin de Descente
Dans un parc d’attractions, une nouvelle montagne russe est en phase de test. La montagne russe comprend une section où le wagon descend une pente inclinée à un angle de 30° par rapport à l’horizontale avant de remonter sur une autre pente.
Les ingénieurs du parc veulent calculer comment la vitesse du wagon varie lorsqu’il atteint le bas de la descente.
Données:
- Masse du wagon: 500 kg
- Longueur de la descente: 200 m
- Angle de la descente: 30° avec l’horizontale
- Coefficient de frottement cinétique entre le wagon et la pente: 0.05
- Gravité: 9.81 m/s²
- Vitesse initiale du wagon en haut de la descente: 0 m/s
Question:
Calculez la vitesse du wagon en bas de la descente en considérant les forces en jeu, y compris les frottements. Utilisez les concepts de force gravitationnelle, de force normale, de force de frottement et d’énergie cinétique.
Correction : Évaluation de la Vitesse en Fin de Descente
Étape 1: Détermination des Forces en Jeu
1. Calcul de la Force Gravitationnelle Effective ( \( F_g \) ):
La composante de la force gravitationnelle qui agit le long de la pente peut être calculée avec la formule
\[ F_g = m \cdot g \cdot \sin(\theta) \]
Substituez les valeurs:
- \( m = 500 \, \text{kg} \) (masse du wagon)
- \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \) (accélération due à la gravité)
- \( \theta = 30^\circ \)
\[ F_g = 500 \cdot 9.81 \cdot \sin(30^\circ) \] \[ F_g = 500 \cdot 9.81 \cdot 0.5 \] \[ F_g = 2452.5 \, \text{N} \)
2. Calcul de la Force Normale ( \( N \) ):
La force normale est perpendiculaire à la surface de la pente et soutient le wagon contre la gravité.
\[ N = m \cdot g \cdot \cos(\theta) \] \[ N = 500 \cdot 9.81 \cdot \cos(30^\circ) \] \[ N = 500 \cdot 9.81 \cdot 0.866 \] \[ N = 4246.93 \, \text{N} \]
3. Calcul de la Force de Frottement ( \( F_f \) ):
\[ F_f = \mu \cdot N \]
- Coefficient de frottement \( \mu = 0.05 \)
\[ F_f = 0.05 \cdot 4246.93 = 212.35 \, \text{N} \]
Étape 2: Calcul de l’Accélération Net du Wagon
1. Accélération due à la gravité le long de la pente ( \( a_g \) ):
\[ a_g = g \cdot \sin(\theta) \] \[ a_g = 9.81 \cdot 0.5 \] \[ a_g = 4.905 \, \text{m/s}^2 \]
2. Accélération due aux frottements ( \( a_f \) ):
\[ a_f = \mu \cdot g \cdot \cos(\theta) \] \[ a_f = 0.05 \cdot 9.81 \cdot 0.866 \] \[ a_f = 0.4245 \, \text{m/s}^2 \]
3. Accélération nette ( \( a_{net} \) ):
\[ a_{net} = a_g – a_f \] \[ a_{net} = 4.905 – 0.4245 \] \[ a_{net} = 4.4805 \, \text{m/s}^2 \]
Étape 3: Utilisation de la Formule du Mouvement Uniformément Accéléré
1. Calcul de la vitesse finale ( \( v \) ) en bas de la descente:
\[ v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a_{net} \cdot d \]
- Vitesse initiale \( v_0 = 0 \, \text{m/s} \) (le wagon part de l’arrêt)
- Distance \( d = 200 \, \text{m} \)
\[ v = \sqrt{0 + 2 \cdot 4.4805 \cdot 200} \] \[ v = \sqrt{1792.2} \] \[ v = 42.34 \, \text{m/s} \]
Conclusion
La vitesse du wagon en bas de la descente est de 42.34 m/s. Cette vitesse est relativement élevée, ce qui pourrait poser des questions de sécurité.
Il serait prudent pour les ingénieurs du parc d’attractions d’évaluer les contraintes mécaniques sur le wagon et la sécurité des passagers à cette vitesse, surtout lors de la remontée sur l’autre pente.
Des simulations et des tests réels devraient être effectués pour s’assurer que le wagon peut gérer en toute sécurité cette vitesse sans risque pour les passagers.
Évaluation de la Vitesse en Fin de Descente
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