Lancement oblique d’un projectile
Comprendre le Lancement oblique d’un projectile
Un athlète lance une balle depuis le sol avec une vitesse initiale inclinée par rapport à l’horizontale. On néglige les frottements de l’air. Le mouvement s’effectue dans un plan vertical.
Données :
- Vitesse initiale de la balle : \(v_0 = 20.00 \, \text{m/s}\)
- Angle de lancement : \(\alpha = 30^\circ\) par rapport à l’horizontale
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9.80 \, \text{m/s}^2\)
- On prend comme origine des temps \(t=0\) l’instant du lancement et comme repère :
- l’axe \(Ox\) horizontal,
- l’axe \(Oy\) vertical (positif vers le haut),
- le point de lancement comme origine spatiale ((\(O\)).
Questions :
1. Déterminer les composantes de la vitesse initiale \(\vec{v}_0\) sur les axes \(Ox\) et \(Oy\).
2. Établir l’équation horaire de la position de la balle sur les axes \(Ox\) et \(Oy\).
3. Calculer la durée du vol de la balle jusqu’à ce qu’elle retombe au sol.
4. Déterminer la hauteur maximale atteinte par la balle.
5. Calculer la portée horizontale (distance parcourue sur l’axe \(Ox\) lorsque la balle retombe au sol).
Correction : Lancement oblique d’un projectile
1) Calcul des composantes de la vitesse initiale
1.1) Calcul de \( v_{0x} \)
La vitesse initiale \( \vec{v_0} \) peut se décomposer selon deux axes perpendiculaires:
- l’axe horizontal (\(Ox\)),
- l’axe vertical (\(Oy\)).
La composante selon \(Ox\) est calculée à l’aide de la fonction \(\cos(\alpha)\).
Formule:
\[ v_{0x} = v_0 \cos(\alpha). \]
Données:
- \(v_0 = 20.00 \, \text{m/s}\)
- \(\alpha = 30^\circ\)
- \(\cos(30^\circ) \approx 0.8660254.\)
Calcul:
\[ v_{0x} = 20.00 \times 0.8660254 \] \[ v_{0x} = 17.320508 \, \text{m/s}. \]
(On conserve plusieurs décimales pour illustrer l’absence de simplification.)
1.2) Calcul de \( v_{0y} \)
La composante selon \(Oy\) se calcule à l’aide de la fonction \(\sin(\alpha)\).
Formule:
\[ v_{0y} = v_0 \sin(\alpha). \]
Données:
- \(v_0 = 20.00 \, \text{m/s}\)
- \(\alpha = 30^\circ\)
- \(\sin(30^\circ) = 0.5.\)
Calcul:
\[ v_{0y} = 20.00 \times 0.5 \] \[ v_{0y} = 10.0000 \, \text{m/s}. \]
Ainsi, les composantes de \( \vec{v_0} \) sont:
\[ v_{0x} \approx 17.320508 \, \text{m/s} \] et \[ v_{0y} = 10.0000 \, \text{m/s}. \]
2) Équations horaires sur \(Ox\) et \(Oy\)
2.1) Calcul de \(x(t)\)
Sur l’axe horizontal, on néglige les frottements; il n’y a donc pas d’accélération. La vitesse horizontale \(v_{0x}\) est constante au cours du temps.
Formule:
\[ x(t) = v_{0x} \times t. \]
Données:
- \(v_{0x} = 17.320508 \, \text{m/s}.\)
Calcul:
\[ x(t) = 17.320508 \times t. \]
2.2) Calcul de \(y(t)\)
Sur l’axe vertical, le mouvement est soumis à l’accélération de la pesanteur \(-g\) (négative vers le bas si on prend l’axe positif vers le haut).
Formule:
\[ y(t) = v_{0y} \times t – \frac{1}{2} g t^2. \]
Données:
- \(v_{0y} = 10.0000 \, \text{m/s}\)
- \(g = 9.80 \, \text{m/s^2}.\)
Calcul:
\[ y(t) = 10.0000 \times t – 4.90 \times t^2. \]
3) Durée de vol: temps de retour au sol
La balle retombe au sol lorsque sa position verticale \(y(t)\) redevient nulle (même niveau que le point de lancement). On résout donc l’équation \(y(t) = 0\).
Formule:
\[ y(t) = 10.0000 \times t – 4.90 \times t^2 = 0. \]
Calcul:
\[ 10.0000 \times t – 4.90 \times t^2 = 0\] \[ t(10.0000 – 4.90 \times t) = 0. \]
Les solutions sont:
\[ t = 0 \, (\text{instant initial}) \] ou \[10.0000 – 4.90 \times t = 0 \] \[ t = \frac{10.0000}{4.90}. \] \[ t = 2.0408163 \, \text{s (approx)}. \]
La durée totale du vol (avant que la balle ne touche le sol) est donc :
\[ T \approx 2.0408163 \, \text{s}. \]
4) Hauteur maximale
La hauteur maximale est atteinte lorsque la vitesse verticale devient nulle, c’est-à-dire \(v_y(t_{\text{max}}) = 0\).
Formule:
\[ v_y(t) = v_{0y} – g \times t. \]
En posant \(v_y(t_{\text{max}}) = 0\), on obtient
\[ t_{\text{max}} = \frac{v_{0y}}{g}. \]
On calcule ensuite \(y(t_{\text{max}})\) pour la hauteur maximale.
Données:
- \(v_{0y} = 10.0000 \, \text{m/s}\)
- \(g = 9.80 \, \text{m/s^2}.\)
Calcul:
Temps au sommet:
\[ t_{\text{max}} = \frac{10.0000}{9.80} \] \[ t_{\text{max}} = 1.0204082 \, \text{s (approx)}. \]
Hauteur maximale:
\[ y(t_{\text{max}}) = 10.0000 \times 1.0204082 – 4.90 \times (1.0204082)^2.
\]
- Produit:
\[ 10.0000 \times 1.0204082 \approx 10.204082. \]
- Carré:
\[ (1.0204082)^2 \approx 1.0412247. \]
- Multiplication par 4.90:
\[ 4.90 \times 1.0412247 \approx 5.1000009. \]
\[ y(t_{\text{max}}) \approx 10.204082 – 5.1000009 \] \[ y(t_{\text{max}})= 5.1040811 \, \text{m}. \]
La hauteur maximale atteint environ \(5.1041 \, \text{m}.\)
5) Portée horizontale
La portée est la distance horizontale parcourue lorsque la balle touche à nouveau le sol, donc à l’instant \(T\). On calcule \(x(T)\).
Formule:
\[ x(T) = v_{0x} \times T. \]
Données:
- \(v_{0x} \approx 17.320508 \, \text{m/s}\)
- \(T \approx 2.0408163 \, \text{s}.\)
Calcul:
\[ x(T) = 17.320508 \times 2.0408163 \] \[ x(T) \approx 35.367346 \, \text{m}. \]
La portée est donc d’environ \(35.3673 \, \text{m}.\)
Lancement oblique d’un projectile
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