Mouvement d’un skateboarder dans un parc
Comprendre le Mouvement d’un skateboarder dans un parc
Dans un parc de skateboard, Alex teste ses compétences en descendant une rampe inclinée. Cette rampe est lisse, permettant à Alex de glisser sans frottement. Pour mesurer sa performance, Alex utilise une application qui enregistre sa vitesse à différents points de la descente.
Pour comprendre l’Analyse de Force sur un Parcours Ascendant, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Longueur de la rampe : \(12 \, \text{m}\)
- Hauteur de la rampe : \(3 \, \text{m}\)
- Masse d’Alex avec son skateboard : \(45 \, \text{kg}\)
- Accélération due à la gravité : \(9.8 \, \text{m/s}^2\)
- Angle d’inclinaison de la rampe : à calculer
Questions:
1. Calculer l’angle d’inclinaison de la rampe.
Utiliser la formule \(\tan(\theta) = \frac{\text{hauteur}}{\text{longueur}}\) pour trouver l’angle \(\theta\) de la rampe.
2. Déterminer l’accélération d’Alex sur la rampe.
Utiliser la composante parallèle de la force gravitationnelle qui agit le long de la rampe : \(a = g \sin(\theta)\).
3. Calculer la vitesse d’Alex en bas de la rampe.
Supposant qu’Alex part du repos, utiliser la formule du mouvement rectiligne uniformément accéléré : \(v = \sqrt{2as}\), où \(s\) est la longueur de la rampe et \(a\) l’accélération.
4. Évaluer le temps mis par Alex pour atteindre le bas de la rampe.
Utiliser la formule \(t = \sqrt{\frac{2s}{a}}\).
Correction : Mouvement d’un skateboarder dans un parc
1. Calcul de l’angle d’inclinaison de la rampe
Formule utilisée :
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{hauteur}}{\text{longueur}} \]
Substitution des valeurs :
\[ \tan(\theta) = \frac{3 \, \text{m}}{12 \, \text{m}} \] \[ \tan(\theta) = 0.25 \]
Calcul de l’angle :
\[ \theta = \arctan(0.25) \] \[ \theta \approx 14.04^\circ \]
L’angle d’inclinaison de la rampe est calculé en utilisant l’arc tangente de 0.25, donnant environ 14.04 degrés. Cela montre que la rampe est assez douce.
2. Détermination de l’accélération d’Alex sur la rampe
Formule utilisée :
\[ a = g \sin(\theta) \]
Substitution des valeurs :
\[ a = 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot \sin(14.04^\circ) \]
Calcul de l’accélération :
\[ a \approx 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.2425 \] \[ a \approx 2.38 \, \text{m/s}^2 \]
La composante de la gravité qui accélère Alex le long de la rampe est de 2.38 m/s². Cette valeur est obtenue en multipliant l’accélération due à la gravité par le sinus de l’angle d’inclinaison.
3. Calcul de la vitesse d’Alex en bas de la rampe
Formule utilisée :
\[ v = \sqrt{2as} \]
Substitution des valeurs :
\[ v = \sqrt{2 \cdot 2.38 \, \text{m/s}^2 \cdot 12 \, \text{m}} \]
Calcul de la vitesse :
\[ v \approx \sqrt{57.12} \] \[ v \approx 7.56 \, \text{m/s} \]
La vitesse finale d’Alex est d’environ 7.56 m/s après avoir parcouru la rampe. Cela montre une augmentation significative de la vitesse due à l’accélération constante sur la rampe.
4. Évaluation du temps mis par Alex pour atteindre le bas de la rampe
Formule utilisée :
\[ t = \sqrt{\frac{2s}{a}} \]
Substitution des valeurs :
\[ t = \sqrt{\frac{24}{2.38}} \]
Calcul du temps :
\[ t \approx \sqrt{10.08} \] \[ t \approx 3.17 \, \text{s} \]
Alex prend environ 3.17 secondes pour atteindre le bas de la rampe. Ce temps reflète la distance parcourue et l’accélération subie.
Mouvement d’un skateboarder dans un parc
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