Perturbation le long d’une corde
Comprendre la Perturbation le long d’une corde
Un groupe d’ingénieurs doit concevoir un système de surveillance pour mesurer les vibrations d’un pont suspendu causées par le vent.
Ils décident d’utiliser une corde tendue le long du pont comme modèle simplifié pour étudier ces vibrations. Une perturbation est introduite sur la corde pour simuler l’effet du vent.
Données fournies:
- Longueur de la corde (L) : 200 mètres
- Masse de la corde (m) : 50 kg
- Tension dans la corde (T) : 5000 Newtons
- Position initiale de la perturbation (x₀) : 50 mètres du point d’ancrage gauche
- Amplitude initiale de la perturbation (A₀) : 0.5 mètre
Questions:
1. Calculer la vitesse de propagation de l’onde sur la corde.
2. Déterminer la fréquence de l’onde sachant que la longueur d’onde correspond à la longueur de la corde.
3. Estimer le temps nécessaire pour que la perturbation atteigne l’autre extrémité de la corde et revenir à sa position initiale.
4. Analyser l’effet de l’amplitude initiale sur le temps de retour en considérant que la tension dans la corde reste constante.
Correction : Perturbation le long d’une corde
- Calcul de la masse linéique \( \mu \)
Pour trouver la masse linéique \( \mu \), nous utilisons la formule:
\[ \mu = \frac{m}{L} \]
Substituons les valeurs données:
\[ \mu = \frac{50 \, \text{kg}}{200 \, \text{m}} \] \[ \mu = 0.25 \, \text{kg/m} \]
1. Calcul de la vitesse de propagation \( v \)
La vitesse de propagation de l’onde dans la corde peut être trouvée avec la formule:
\[ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
En substituant \( T = 5000 \, \text{N} \) et \( \mu = 0.25 \, \text{kg/m} \):
\[ v = \sqrt{\frac{5000 \, \text{N}}{0.25 \, \text{kg/m}}} \] \[ v = \sqrt{20000 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \] \[ v = 141.42 \, \text{m/s} \]
2. Détermination de la fréquence de l’onde \( f \)
La fréquence de l’onde est déterminée par:
\[ f = \frac{v}{\lambda} \]
où \( \lambda \) est la longueur d’onde égale à la longueur de la corde (L). Ainsi:
\[ f = \frac{141.42 \, \text{m/s}}{200 \, \text{m}} \] \[ f = 0.7071 \, \text{Hz} \]
3. Estimation du temps nécessaire pour que la perturbation atteigne l’autre extrémité de la corde
Le temps nécessaire pour que l’onde fasse un aller-retour est:
\[ t = \frac{2L}{v} \]
Substituant les valeurs \( L = 200 \, \text{m} \) et \( v = 141.42 \, \text{m/s} \):
\[ t = \frac{2 \times 200 \, \text{m}}{141.42 \, \text{m/s}} \] \[ t = 2.8284 \, \text{s} \]
4. Analyse de l’effet de l’amplitude initiale sur le temps de retour
Dans cet exercice, l’amplitude initiale \( A_0 \) est donnée à 0.5 mètre. L’amplitude ne change pas la vitesse de l’onde ni la fréquence dans le cas d’une corde idéalisée sous tension constante.
Cependant, il est important de noter que dans des cas plus complexes, comme une amplitude très élevée, il pourrait y avoir des effets non-linéaires ou une influence sur la tension effective de la corde, ce qui nécessiterait une analyse plus approfondie.
Résumé:
L’onde se propage le long de la corde avec une vitesse de \( 141.42 \, \text{m/s} \) et une fréquence de \( 0.7071 \, \text{Hz} \).
L’onde prend \( 2.8284 \, \text{s} \) pour parcourir un aller-retour sur la corde. L’amplitude initiale, dans le cadre de cette modélisation simplifiée, n’influence pas le temps de retour de l’onde.
Perturbation le long d’une corde
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