Principes de Newton dans l’Espace

Comprendre les Principes de Newton dans l’Espace

Un petit satellite de communication est en orbite circulaire autour de la Terre. Pour simplifier les calculs, nous supposerons que l’orbite du satellite est parfaitement circulaire et qu’il n’y a pas d’autres forces agissant sur le satellite à part la gravité terrestre.

Pour comprendre l’Analyse du Mouvement du Centre d’Inertie, cliquez sur le lien.

Données:

• Masse du satellite (\( m \)) = 150 kg
• Altitude de l’orbite du satellite par rapport à la surface de la Terre (\( h \)) = 400 km
• Masse de la Terre (\( M \)) = \( 5.97 \times 10^{24} \) kg
• Rayon de la Terre (\( R \)) = 6371 km
• Constante gravitationnelle (\( G \)) = \( 6.674 \times 10^{-11} \) N\( \cdot \)m\(^2\)/kg\(^2\).

Question:

Calculez la vitesse orbitale du satellite nécessaire pour maintenir une orbite stable. Utilisez le principe de l’inertie pour expliquer pourquoi le satellite reste en orbite circulaire sans propulsion additionnelle.

Correction : Principes de Newton dans l’Espace

1. Calcul du rayon total de l’orbite (\(r\)) :

• Rayon de la Terre (\(R\)) : \(6371\) km = \(6371 \times 10^3\) m = \(6.371 \times 10^6\) m
• Altitude du satellite (\(h\)) : \(400\) km = \(400 \times 10^3\) m = \(4 \times 10^5\) m

Rayon total de l’orbite (\(r\)) :

\[ r = R + h \] \[ r = 6.371 \times 10^6 \, \text{m} + 4 \times 10^5 \, \text{m} \] \[ r = 6.771 \times 10^6 \, \text{m} \]

2. Utilisation de la loi de la gravitation universelle de Newton :

• Constante gravitationnelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2\)
• Masse de la Terre (\(M\)) : \(5.97 \times 10^{24}\) kg
• Masse du satellite (\(m\)) : \(150\) kg

Force gravitationnelle (\(F\)) :

\[ F = G \frac{M \cdot m}{r^2} \] \[ F = 6.674 \times 10^{-11} \frac{5.97 \times 10^{24} \cdot 150}{(6.771 \times 10^6)^2} \, \text{N} \]

• Calcul de \(r^2\) :

\[ r^2 = (6.771 \times 10^6)^2 = 4.586 \times 10^{13} \, \text{m}^2 \]

Substitution et calcul de \(F\) :

\[ F = 6.674 \times 10^{-11} \frac{8.955 \times 10^{26}}{4.586 \times 10^{13}} \] \[ F = 1.304 \times 10^3 \, \text{N} \]

3. Calcul de la vitesse orbitale (\(v\)) :

Force centripète (\(F_c\)) nécessaire pour maintenir le satellite en orbite :

\[ F_c = \frac{m \cdot v^2}{r} \]

En équilibrant les forces (\(F = F_c\)) et en résolvant pour \(v\) :

\[ 1.304 \times 10^3 = \frac{150 \cdot v^2}{6.771 \times 10^6} \]

Simplification pour \(v^2\) :

\[ v^2 = \frac{1.304 \times 10^3 \cdot 6.771 \times 10^6}{150} \] \[ v^2 = 6.198 \times 10^7 \, \text{m}^2/\text{s}^2 \]

Calcul de \(v\) :

\[ v = \sqrt{6.198 \times 10^7} \] \[ v \approx 7867 \, \text{m/s} \]

4. Conclusion :

Le satellite doit avoir une vitesse orbitale d’environ 7867 m/s pour maintenir une orbite circulaire stable autour de la Terre.

Cette vitesse illustre le principe de l’inertie : dans un système où les forces sont équilibrées (ici, la force gravitationnelle fournit exactement la force centripète requise), le satellite continue son mouvement en orbite sans besoin de propulsion additionnelle.

Principes de Newton dans l’Espace

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