Rotation d'un Disque sous l'Effet d'un Couple

Contexte : La dynamique de rotation.

Cet exercice porte sur l'étude du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe, un concept fondamental en mécanique et en ingénierie. Nous allons analyser le cas d'un disque homogène, initialement au repos, mis en rotation par l'application d'un coupleAction mécanique qui tend à provoquer une rotation. C'est l'analogue rotationnel de la force. Son unité est le Newton-mètre (N.m). moteur constant. Cette situation modélise de nombreux systèmes réels, comme le démarrage d'un moteur électrique, d'une roue de véhicule ou d'un disque dur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) au mouvement de rotation, de manipuler les grandeurs angulaires (position, vitesse, accélération) et de faire le lien avec les concepts énergétiques.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le moment d'inertieGrandeur qui caractérise l'opposition d'un corps à sa mise en rotation. C'est l'analogue de la masse pour la rotation. Unité : kg.m². d'un solide usuel.
Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique en rotation pour trouver l'accélération angulaire.
Déterminer et utiliser les équations horaires du mouvement (vitesse et position angulaires).
Calculer l'énergie cinétique associée à un mouvement de rotation.

Données de l'étude

On considère un disque plein et homogène, susceptible de tourner sans frottement autour d'un axe \((\Delta)\) passant par son centre O et perpendiculaire à son plan. Le disque est initialement au repos. À l'instant \(t=0\), on lui applique un couple moteur \(\Gamma\) constant.

Fiche Technique du Disque

Schéma du système étudié

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse du disque	\(M\)	10	kg
Rayon du disque	\(R\)	0,5	m
Couple moteur	\(\Gamma\)	20	N.m
Vitesse angulaire initiale	\(\omega_0\)	0	rad/s
Position angulaire initiale	\(\theta_0\)	0	rad

Questions à traiter

Calculer le moment d'inertie \(I\) du disque par rapport à l'axe \((\Delta)\).
En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique en rotation, déterminer l'accélération angulaire \(\alpha\) du disque.
Établir l'expression de la vitesse angulaire \(\omega(t)\) en fonction du temps. Calculer sa valeur à l'instant \(t=5\) s.
Établir l'expression de la position angulaire \(\theta(t)\) en fonction du temps. Calculer le nombre de tours effectués par le disque entre \(t=0\) s et \(t=5\) s.
Calculer l'énergie cinétique de rotation \(E_c\) du disque à l'instant \(t=5\) s.

Les bases de la Dynamique de Rotation

Pour aborder cet exercice, il est essentiel de maîtriser les concepts clés qui régissent le mouvement de rotation des solides.

1. Moment d'Inertie (\(I\))
Le moment d'inertie est l'équivalent de la masse dans un mouvement de rotation. Il quantifie la résistance d'un corps à un changement de son état de rotation. Il dépend de la masse du corps et de la répartition de cette masse autour de l'axe de rotation. Pour un disque plein et homogène de masse \(M\) et de rayon \(R\), tournant autour de son axe central, la formule est : \[ I = \frac{1}{2} M R^2 \]

2. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) en Rotation
Aussi appelée deuxième loi de Newton pour la rotation, cette relation fondamentale stipule que la somme des moments des forces extérieures (le couple net) appliquée à un solide est égale au produit de son moment d'inertie par son accélération angulaire. \[ \sum \Gamma_{\text{ext}} = I \cdot \alpha \] Où \(\alpha\) est l'accélération angulaire en \(\text{rad/s}^2\).

3. Équations Horaires (si \(\alpha = \text{cste}\))
Lorsque l'accélération angulaire \(\alpha\) est constante, le mouvement est dit "uniformément accéléré". Les équations qui décrivent la vitesse angulaire \(\omega\) et la position angulaire \(\theta\) à tout instant \(t\) sont : \[ \omega(t) = \omega_0 + \alpha t \] \[ \theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \]

Correction : Rotation d’un Disque sous l’Effet d’un Couple

Question 1 : Calculer le moment d'inertie \(I\) du disque.

Principe

Le moment d'inertie \(I\) mesure comment la masse d'un objet est répartie par rapport à un axe de rotation. Plus la masse est éloignée de l'axe, plus le moment d'inertie est grand, et plus il est "difficile" de faire tourner l'objet. Pour des formes géométriques simples et homogènes comme un disque, il existe des formules directes.

Mini-Cours

Le moment d'inertie est l'analogue de la masse inertielle pour la rotation. Alors que la masse s'oppose à l'accélération linéaire (\(F=ma\)), le moment d'inertie s'oppose à l'accélération angulaire (\(\Gamma = I\alpha\)). Pour un ensemble de masses ponctuelles \(m_i\) situées à une distance \(r_i\) de l'axe, il est défini par \(I = \sum m_i r_i^2\). Pour un solide continu, on passe à une intégrale : \(I = \int r^2 dm\). La formule pour un disque est le résultat de cette intégration sur toute sa surface.

Remarque Pédagogique

Il n'est généralement pas nécessaire de refaire le calcul intégral en exercice. Il est conseillé de mémoriser les formules des moments d'inertie pour les solides les plus courants (disque, sphère, tige, anneau), car elles constituent le point de départ de nombreux problèmes de dynamique.

Normes

Le calcul des moments d'inertie ne dépend pas de normes externes mais uniquement des lois de la mécanique classique et de la géométrie de l'objet. Les formules sont universelles.

Formule(s)

Formule du moment d'inertie d'un disque plein

I = \frac{1}{2} M R^2

Hypothèses

Pour appliquer cette formule, nous posons les hypothèses suivantes :

Le disque est parfaitement circulaire et d'épaisseur négligeable (modèle 2D).
La masse volumique est uniforme sur tout le disque (il est "homogène").

Donnée(s)

Nous extrayons les valeurs nécessaires de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse	\(M\)	10	kg
Rayon	\(R\)	0,5	m

Astuces

Avant tout calcul, vérifiez toujours la cohérence de vos unités. Ici, la masse est en kg et le rayon en m. Le résultat sera donc directement en kg.m², l'unité du Système International (SI) pour le moment d'inertie. Pas de conversion, pas de piège !

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma visualise les paramètres géométriques du disque utilisés pour le calcul du moment d'inertie.

Paramètres géométriques du disque

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} I &= \frac{1}{2} \times (10 \text{ kg}) \times (0,5 \text{ m})^2 \\ &= 0,5 \times 10 \times 0,25 \\ &= 1,25 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le moment d'inertie est une valeur scalaire qui caractérise le solide. Il n'y a pas de schéma spécifique pour le représenter, contrairement à un champ de vecteurs ou un diagramme d'efforts.

Représentation d'une propriété scalaire

Réflexions

La valeur de \(1,25 \text{ kg} \cdot \text{m}^2\) représente l'inertie propre du disque. Si nous avions un anneau de même masse et même rayon, toute la masse serait à la distance R de l'axe, et son moment d'inertie serait \(I_{\text{anneau}} = MR^2 = 2,5 \text{ kg} \cdot \text{m}^2\). Le disque est donc "plus facile" à faire tourner que l'anneau, ce qui est logique car une partie de sa masse est plus proche du centre.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre le rayon au carré. Souvenez-vous que l'unité finale doit être en [Masse] x [Longueur]², soit des kg.m². Si vous obtenez des kg.m, il y a une erreur !

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Le moment d'inertie est l'inertie en rotation.
Formule Essentielle : Pour un disque plein, \(I = \frac{1}{2} M R^2\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier le carré sur le rayon (\(R^2\)).

Le saviez-vous ?

Le théorème de Huygens-Steiner permet de calculer le moment d'inertie par rapport à un axe parallèle à un axe passant par le centre de gravité. Si l'axe est décalé d'une distance \(d\), le nouveau moment d'inertie est \(I' = I_G + Md^2\). Il est donc toujours plus grand que celui passant par le centre de gravité.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

Le moment d'inertie du disque est \(I = 1,25 \text{ kg} \cdot \text{m}^2\).

A vous de jouer

Quel serait le moment d'inertie si le rayon du disque était doublé (\(R=1 \text{ m}\)) mais la masse identique ?

Question 2 : Déterminer l'accélération angulaire \(\alpha\).

Principe

L'accélération angulaire est directement causée par le couple net appliqué au disque. Le lien entre la cause (le couple \(\Gamma\)) et l'effet (l'accélération \(\alpha\)) est décrit par le Principe Fondamental de la Dynamique en rotation, qui fait intervenir l'inertie de rotation de l'objet (son moment d'inertie \(I\)).

Mini-Cours

Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) pour la rotation est l'un des piliers de la mécanique du solide. Il s'énonce : "Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des moments des forces extérieures appliquées à un solide est égale à la dérivée par rapport au temps de son moment cinétique". Pour un solide en rotation autour d'un axe fixe, cela se simplifie à la forme scalaire \(\sum \Gamma = I \alpha\).

Remarque Pédagogique

La démarche est toujours la même : 1. Isoler le système (ici, le disque). 2. Faire le bilan des actions extérieures (ici, le couple moteur \(\Gamma\) ; le poids et la réaction de l'axe ont un moment nul car ils s'appliquent sur l'axe). 3. Appliquer le PFD. C'est une méthode robuste qui fonctionne pour tous les problèmes de dynamique.

Normes

Le PFD est une loi fondamentale de la physique, pas une norme. Les normes (par ex. ISO 80000-4) interviennent pour standardiser les symboles et les unités (\(\Gamma\) pour le couple, \(I\) pour le moment d'inertie, etc.).

Formule(s)

PFD en rotation

\sum \Gamma = I \cdot \alpha

Formule appliquée au cas d'étude

\Gamma = I \alpha

Hypothèses

Pour appliquer cette version simple du PFD, nous supposons que :

L'axe de rotation est fixe dans le référentiel d'étude (considéré galiléen).
Les frottements sur l'axe sont nuls.
Le couple moteur \(\Gamma\) est constant dans le temps.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question 1 et les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Couple moteur	\(\Gamma\)	20	N.m
Moment d'inertie	\(I\)	1,25	kg.m²

Astuces

Une analyse dimensionnelle rapide permet de vérifier la formule. Un couple (\(\Gamma\)) est une force x une distance, soit \([M][L]^2[T]^{-2}\). Le moment d'inertie (\(I\)) est en \([M][L]^2\). L'accélération angulaire (\(\alpha\)) est en \([T]^{-2}\) (rad.s⁻²). On a bien \([\Gamma] = [I][\alpha]\). La formule est cohérente.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre le disque et le couple moteur qui lui est appliqué, cause de l'accélération angulaire recherchée.

Système soumis au couple moteur

Calcul(s)

Réarrangement de la formule

\alpha = \frac{\Gamma}{I}

Application numérique

\begin{aligned} \alpha &= \frac{20 \text{ N} \cdot \text{m}}{1,25 \text{ kg} \cdot \text{m}^2} \\ &= 16 \text{ rad/s}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le graphique représente l'accélération angulaire constante en fonction du temps.

Diagramme de l'Accélération Angulaire

Réflexions

La valeur de \(16 \text{ rad/s}^2\) est positive, ce qui signifie que la vitesse angulaire du disque va augmenter dans le sens défini par le couple. C'est une accélération assez rapide : chaque seconde, la vitesse de rotation augmente de 16 rad/s (soit environ 2,5 tours par seconde de plus chaque seconde).

Points de vigilance

Attention à bien utiliser le moment d'inertie \(I\) calculé à la question précédente. Une erreur sur \(I\) se propage directement sur le calcul de \(\alpha\). Assurez-vous aussi que le couple est le couple *net*. S'il y avait un couple de frottement \(\Gamma_f\), la formule serait \(\alpha = (\Gamma - \Gamma_f) / I\).

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Le couple provoque une accélération angulaire (\(\Gamma \propto \alpha\)).
Formule Essentielle : \(\Gamma = I \alpha\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser des unités cohérentes (SI).

Le saviez-vous ?

La conservation du moment cinétique (\(L = I\omega\)) est une conséquence directe du PFD en rotation. Si le couple externe net est nul, alors \(\frac{dL}{dt}=0\), donc \(L\) est constant. C'est le principe qui explique pourquoi une patineuse tourne plus vite en ramenant ses bras près de son corps : elle diminue son moment d'inertie \(I\), donc sa vitesse angulaire \(\omega\) doit augmenter pour que le produit \(I\omega\) reste constant.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

L'accélération angulaire du disque est \(\alpha = 16 \text{ rad/s}^2\).

A vous de jouer

Que deviendrait l'accélération angulaire si on appliquait le même couple à un disque de même rayon mais deux fois plus lourd (\(M=20\text{kg}\)) ?

Question 3 : Vitesse angulaire \(\omega(t)\) et sa valeur à \(t=5\) s.

Principe

Puisque l'accélération angulaire \(\alpha\) est constante (car le couple moteur est constant), le mouvement du disque est une rotation uniformément accélérée. La vitesse angulaire augmente donc linéairement avec le temps, à partir de sa valeur initiale.

Mini-Cours

En cinématique, la vitesse est l'intégrale de l'accélération par rapport au temps. Pour une accélération constante \(\alpha\), l'intégration de \(\alpha\) donne \(\int \alpha dt = \alpha t + C\). La constante d'intégration \(C\) est déterminée par la condition initiale, qui est ici la vitesse initiale \(\omega_0\). On retrouve bien la relation \(\omega(t) = \omega_0 + \alpha t\).

Remarque Pédagogique

Cette relation linéaire entre la vitesse et le temps est la caractéristique d'un mouvement uniformément accéléré. Si vous tracez la vitesse en fonction du temps, vous devez obtenir une droite. La pente de cette droite est l'accélération \(\alpha\). C'est un bon moyen de visualiser le concept.

Normes

L'unité standard internationale pour la vitesse angulaire est le radian par seconde (rad/s). L'utilisation d'autres unités comme les tours par minute (tr/min) est fréquente en ingénierie mais nécessite une conversion systématique pour les calculs de dynamique.

Formule(s)

Équation horaire de la vitesse angulaire

\omega(t) = \omega_0 + \alpha t

Hypothèses

Le calcul repose sur l'hypothèse cruciale que l'accélération angulaire \(\alpha\) est constante, ce qui a été établi et justifié à la question précédente.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la question 2 et les conditions initiales de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse angulaire initiale	\(\omega_0\)	0	rad/s
Accélération angulaire	\(\alpha\)	16	rad/s²

Astuces

Pour un départ arrêté (\(\omega_0=0\)), la formule se simplifie en \(\omega = \alpha t\). C'est un cas très fréquent dans les exercices, facile à vérifier mentalement avant de se lancer dans des calculs plus complexes.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente la rotation du disque, où la vitesse angulaire \(\omega\) augmente avec le temps.

Augmentation de la Vitesse Angulaire

Calcul(s)

Étape 1 : Expression de \(\omega(t)\)

\begin{aligned} \omega(t) &= \omega_0 + \alpha t \\ &= 0 + 16 \cdot t \\ &= 16t \end{aligned}

Étape 2 : Calcul à \(t=5\) s

\begin{aligned} \omega(5) &= 16 \times 5 \\ &= 80 \text{ rad/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le graphique illustre l'augmentation linéaire de la vitesse angulaire en fonction du temps, partant de zéro.

Diagramme de la Vitesse Angulaire

Réflexions

Une vitesse de \(80 \text{ rad/s}\) est une vitesse de rotation élevée. Pour se faire une idée, on peut la convertir en tours par minute (tr/min) : \(\omega = 80 \text{ rad/s} \times \frac{1 \text{ tour}}{2\pi \text{ rad}} \times \frac{60 \text{ s}}{1 \text{ min}} \approx 764 \text{ tr/min}\). C'est la vitesse de rotation d'un moteur de machine à laver pendant l'essorage, atteinte en seulement 5 secondes.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les variables sont dans les bonnes unités avant d'appliquer la formule. L'accélération \(\alpha\) doit être en rad/s² et le temps \(t\) en secondes pour obtenir une vitesse \(\omega\) en rad/s.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Pour une accélération constante, la vitesse augmente linéairement.
Formule Essentielle : \(\omega(t) = \omega_0 + \alpha t\).

Le saviez-vous ?

Le radian est l'unité "naturelle" des angles en physique car elle simplifie les relations entre les grandeurs angulaires et tangentielles. Par exemple, la vitesse tangentielle \(v\) d'un point à la périphérie du disque est simplement \(v = R\omega\). Si \(\omega\) était en degrés par seconde, un facteur de conversion \(\pi/180\) apparaîtrait dans la formule.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

L'expression de la vitesse angulaire est \(\omega(t) = 16t\) (avec \(\omega\) en rad/s et \(t\) en s). À \(t=5\) s, la vitesse est de \(80 \text{ rad/s}\).

A vous de jouer

Quelle serait la vitesse angulaire à \(t=10\) s ?

Question 4 : Position angulaire \(\theta(t)\) et nombre de tours en 5 s.

Principe

De la même manière que pour la vitesse, la position angulaire \(\theta(t)\) suit une loi horaire spécifique au mouvement uniformément accéléré. Elle évolue de façon quadratique avec le temps. Une fois l'angle total parcouru calculé en radians, on peut le convertir en nombre de tours.

Mini-Cours

La position angulaire \(\theta(t)\) est obtenue par intégration de la vitesse angulaire \(\omega(t)\) par rapport au temps. En intégrant \(\omega(t) = \omega_0 + \alpha t\), on obtient \(\int (\omega_0 + \alpha t)dt = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 + C'\). La constante d'intégration \(C'\) est déterminée par la condition initiale, ici la position initiale \(\theta_0\). Cette double intégration successive de l'accélération est un concept fondamental en cinématique.

Remarque Pédagogique

La dépendance en \(t^2\) est cruciale. Elle signifie que la distance angulaire parcourue pendant chaque seconde successive n'est pas constante, mais augmente (le disque parcourt beaucoup plus de chemin entre t=4s et t=5s qu'entre t=0s et t=1s). C'est le propre d'un mouvement accéléré.

Normes

L'unité SI pour un angle est le radian (rad). C'est une unité sans dimension, mais elle est essentielle pour la cohérence des formules en physique. Le "tour" ou la "révolution" sont des unités pratiques mais non-SI qui nécessitent une conversion.

Formule(s)

Équation horaire de la position angulaire

\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2

Conversion de radians en tours

1 \text{ tour} = 2\pi \text{ radians}

Hypothèses

Ce calcul est valide car l'accélération angulaire \(\alpha\) est constante, ce qui est une conséquence des hypothèses de la question 2 (couple constant, pas de frottements).

Donnée(s)

On utilise les conditions initiales de l'énoncé et le résultat pour \(\alpha\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Position initiale	\(\theta_0\)	0	rad
Vitesse initiale	\(\omega_0\)	0	rad/s
Accélération angulaire	\(\alpha\)	16	rad/s²

Astuces

Pour convertir des radians en tours, il suffit de diviser par \(2\pi\). Une astuce pour mémoriser : un tour complet, c'est \(360°\) ou \(2\pi\) radians. Le "tour" est donc une unité d'angle plus grande que le radian (environ 6,28 fois plus grande).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre l'angle \(\theta\) balayé par un rayon du disque depuis sa position initiale.

Angle Balayé par le Disque

Calcul(s)

Étape 1 : Expression de \(\theta(t)\)

\begin{aligned} \theta(t) &= \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 \\ &= 0 + (0 \cdot t) + \frac{1}{2}(16)t^2 \\ &= 8t^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de l'angle à \(t=5\) s

\begin{aligned} \theta(5) &= 8 \times (5)^2 \\ &= 8 \times 25 \\ &= 200 \text{ rad} \end{aligned}

Étape 3 : Conversion en nombre de tours

\begin{aligned} \text{Nombre de tours} &= \frac{\theta(5)}{2\pi} \\ &= \frac{200}{2\pi} \\ &\approx 31,83 \text{ tours} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce graphique montre l'évolution parabolique de la position angulaire en fonction du temps.

Diagramme de la Position Angulaire

Réflexions

Le disque a effectué presque 32 tours complets en seulement 5 secondes. Cela confirme l'impression de rotation rapide obtenue à la question précédente. Le fait que l'angle parcouru dépende du carré du temps (\(t^2\)) est la signature d'un mouvement uniformément accéléré.

Points de vigilance

Deux erreurs classiques ici : oublier le facteur \(\frac{1}{2}\) dans la formule de \(\theta(t)\), et se tromper dans la conversion entre radians et tours. Retenez que \(2\pi\) radians est un tour complet.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Dans un mouvement uniformément accéléré, la position varie comme le carré du temps.
Formule Essentielle : \(\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2\).

Le saviez-vous ?

La notion de position angulaire est cruciale pour les systèmes de codage rotatif (encodeurs) qui mesurent avec une très grande précision l'angle d'un axe de moteur, par exemple dans les bras robotisés ou les machines-outils à commande numérique.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

L'expression de la position angulaire est \(\theta(t) = 8t^2\) (avec \(\theta\) en rad et \(t\) en s). En 5 secondes, le disque effectue environ 31,8 tours.

A vous de jouer

Combien de tours le disque aurait-il fait en 10 secondes ? (Attention, la relation n'est pas linéaire !)

Question 5 : Calculer l'énergie cinétique de rotation \(E_c\) à \(t=5\) s.

Principe

Un objet en rotation possède de l'énergie due à son mouvement, appelée énergie cinétique de rotation. Elle est l'analogue de l'énergie cinétique de translation (\(\frac{1}{2}mv^2\)) et dépend du moment d'inertie (l'analogue de la masse) et du carré de la vitesse angulaire (l'analogue de la vitesse).

Mini-Cours

Le théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation stipule que la variation de son énergie cinétique de rotation entre deux instants est égale au travail \(W\) du couple résultant sur le déplacement angulaire correspondant : \(\Delta E_c = W_{\Gamma}\). Le travail d'un couple constant \(\Gamma\) sur un angle \(\Delta\theta\) est \(W = \Gamma \cdot \Delta\theta\). L'énergie cinétique est donc l'énergie accumulée par le solide grâce au travail du couple moteur.

Remarque Pédagogique

Faire l'analogie avec le cas linéaire est très utile pour mémoriser la formule :
\(E_{c, \text{linéaire}} = \frac{1}{2} m v^2\)
\(E_{c, \text{rotation}} = \frac{1}{2} I \omega^2\)
La masse \(m\) est remplacée par le moment d'inertie \(I\), et la vitesse linéaire \(v\) par la vitesse angulaire \(\omega\).

Normes

L'unité de l'énergie dans le Système International est le Joule (J). Le respect des unités SI pour \(I\) (kg.m²) et \(\omega\) (rad/s) garantit un résultat directement en Joules.

Formule(s)

Formule de l'énergie cinétique de rotation

E_c = \frac{1}{2} I \omega^2

Hypothèses

Ce calcul suppose que toute l'énergie fournie par le travail du couple moteur est convertie en énergie cinétique de rotation, ce qui est vrai car nous avons négligé les frottements (pas de pertes d'énergie par chaleur).

Donnée(s)

On utilise les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Moment d'inertie	\(I\)	1,25	kg.m²
Vitesse angulaire à 5s	\(\omega(5)\)	80	rad/s

Astuces

On peut vérifier ce résultat avec le théorème de l'énergie cinétique. Le travail du couple est \(W = \Gamma \cdot \theta(5) = 20 \text{ N.m} \times 200 \text{ rad} = 4000 \text{ J}\). Comme le disque part du repos, \(\Delta E_c = E_c(5) - 0 = W\). On retrouve bien \(E_c(5) = 4000\) J. C'est un excellent moyen de vérifier la cohérence de vos calculs !

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma symbolise l'énergie emmagasinée par le disque en rotation.

Énergie Cinétique de Rotation

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} E_c(5) &= \frac{1}{2} I (\omega(5))^2 \\ &= \frac{1}{2} \times 1,25 \times (80)^2 \\ &= 0,5 \times 1,25 \times 6400 \\ &= 4000 \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce graphique montre l'évolution parabolique de l'énergie cinétique en fonction du temps, reflétant sa dépendance au carré de la vitesse.

Diagramme de l'Énergie Cinétique

Réflexions

\(4000 \text{ Joules}\), c'est l'énergie nécessaire pour soulever une masse de 400 kg (une petite voiture) de 1 mètre. Le disque a emmagasiné une quantité d'énergie non négligeable en seulement 5 secondes, ce qui illustre la puissance du couple appliqué.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre la vitesse angulaire \(\omega\) au carré. De plus, \(\omega\) doit impérativement être en radians par seconde, et non en tours par minute ou autre unité.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Un objet en rotation possède une énergie cinétique.
Formule Essentielle : \(E_c = \frac{1}{2} I \omega^2\).
Vérification possible : via le travail du couple, \(W = \Gamma \Delta\theta\).

Le saviez-vous ?

L'énergie cinétique stockée dans un volant d'inertie (un disque ou cylindre avec un grand moment d'inertie) est une méthode de stockage d'énergie mécanique. Elle est utilisée dans certains systèmes d'alimentation sans interruption (UPS) pour fournir de l'énergie pendant une courte coupure de courant, ou dans des véhicules pour la récupération d'énergie au freinage.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes.

Résultat Final

L'énergie cinétique du disque à \(t=5\) s est de \(4000 \text{ Joules}\) (soit 4 kJ).

A vous de jouer

Quelle serait l'énergie cinétique si le couple était deux fois plus petit (\(\Gamma=10 \text{ N.m}\)) après les mêmes 5 secondes ? (Indice : l'énergie dépend du carré de la vitesse...)

Outil Interactif : Simulateur de Rotation

Utilisez les curseurs pour modifier le couple moteur et la masse du disque. Observez en temps réel comment ces changements affectent l'accélération angulaire et l'énergie cinétique atteinte après 5 secondes. Le graphique montre l'évolution de la vitesse angulaire en fonction du temps pour les paramètres choisis.

Paramètres d'Entrée

Couple Moteur (\(\Gamma\)) (N.m) 20 N.m

Masse du disque (\(M\)) (kg) 10 kg

Résultats Clés (à t=5s)

Accélération Angulaire (\(\alpha\)) - rad/s²

Énergie Cinétique (\(E_c\)) - J

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le moment d'inertie d'un solide dépend principalement de :

Sa vitesse angulaire et de sa masse.
Sa masse et de la façon dont elle est répartie autour de l'axe.
Uniquement du couple qui lui est appliqué.

2. Si on double le couple moteur appliqué au disque, son accélération angulaire :

Double.
Est divisée par deux.
Est multipliée par quatre.

3. Si on double le rayon du disque tout en gardant sa masse constante, son moment d'inertie :

Double.
Reste inchangé.
Est multiplié par quatre.

Moment d'inertie (\(I\)): Caractéristique d'un corps qui détermine sa résistance à une accélération angulaire. C'est l'analogue de la masse pour la rotation. Unité : kg.m².
Couple (\(\Gamma\)): Action mécanique qui produit une accélération angulaire sur un objet, équivalent de la force pour le mouvement de rotation. Unité : Newton-mètre (N.m).
Accélération angulaire (\(\alpha\)): Taux de variation de la vitesse angulaire. Elle mesure la rapidité avec laquelle un objet se met à tourner plus vite ou moins vite. Unité : rad/s².
Énergie cinétique de rotation (\(E_c\)): Énergie que possède un objet du fait de son mouvement de rotation. Unité : Joule (J).