Analyse des Oscillations Amorties d’un Système
Comprendre l’Analyse des Oscillations Amorties d’un Système
Un pendule constitué d’une masse suspendue au bout d’un ressort vertical effectue des oscillations verticales sous l’effet de la gravité et de la résistance de l’air, qui provoque un amortissement des oscillations.
Ce système est utilisé pour illustrer des concepts physiques fondamentaux et appliqués, notamment dans les capteurs de mouvement.
Données:
- Masse de l’objet suspendu, \( m \): \( 0.5 \, \text{kg} \)
- Constante du ressort, \( k \): \( 20 \, \text{N/m} \)
- Coefficient d’amortissement, \( b \): \( 0.1 \, \text{kg/s} \)
- Position initiale (déplacement initial par rapport à la position d’équilibre), \( x_0 \): \( 0.1 \, \text{m} \)
- Vitesse initiale, \( v_0 \): \( 0 \, \text{m/s} \).
Questions:
1. Équation du mouvement : Établir l’équation différentielle du mouvement pour ce système oscillant.
2. Type d’amortissement : Déterminer le type d’amortissement (sous-amorti, critique, sur-amorti) à partir des paramètres donnés.
3. Solution de l’équation : Trouver la solution de l’équation différentielle qui décrit le mouvement de la masse.
4. Période et fréquence : Calculer la période et la fréquence des oscillations si le système est sous-amorti.
Correction : Analyse des Oscillations Amorties d’un Système
1. Équation du mouvement :
L’équation différentielle du mouvement est :
\[ m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0 \]
En substituant les valeurs données :
- Masse \( m = 0.5 \) kg
- Coefficient d’amortissement \( b = 0.1 \) kg/s
- Constante du ressort \( k = 20 \) N/m
L’équation devient :
\[ 0.5\ddot{x} + 0.1\dot{x} + 20x = 0 \]
2. Type d’amortissement :
Calculons le discriminant \( \Delta \) de l’équation caractéristique:
\[ \Delta = b^2 – 4mk \] \[ \Delta = (0.1)^2 – 4 \times 0.5 \times 20 \] \[ \Delta = 0.01 – 40 \] \[ \Delta = -39.99 \]
Le discriminant est négatif, indiquant un système sous-amorti.
3. Solution de l’équation :
Pour un système sous-amorti, la solution est de la forme :
\[ x(t) = e^{-\frac{b}{2m}t} \left( A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t) \right) \]
où
\(\omega_d = \sqrt{\frac{k}{m} – \left(\frac{b}{2m}\right)^2}\) est la fréquence d’oscillation amortie.
Calculons \( \omega_d \) :
\[ \omega_d = \sqrt{\frac{20}{0.5} – \left(\frac{0.1}{2 \times 0.5}\right)^2} \] \[ \omega_d = \sqrt{40 – 0.01} \] \[ \omega_d \approx 6.324 \text{ rad/s} \]
Les conditions initiales sont \( x(0) = 0.1 \) m et \( v(0) = 0 \) m/s. Utilisons ces conditions pour trouver \( A \) et \( B \):
\[ A = x_0 = 0.1 \text{ m} \]
\[ B = \frac{v_0 + \frac{b}{2m} A}{\omega_d} \] \[ B = \frac{0 + \frac{0.1}{2 \times 0.5} \times 0.1}{6.324} \] \[ B \approx 0.00158 \text{ m} \]
La solution devient :
\[ x(t) = e^{-0.1 t} \left( 0.1 \cos(6.324 t) + 0.00158 \sin(6.324 t) \right) \]
4. Période et fréquence :
Calculons la période \( T \) et la fréquence \( f \) :
\[ T = \frac{2\pi}{\omega_d} \] \[ T = \frac{2\pi}{6.324} \] \[ T \approx 0.994 \text{ s} \]
\[ f = \frac{1}{T} \] \[ f \approx 1.006 \text{ Hz} \]
Analyse des Oscillations Amorties d’un Système
D’autres exercices de physique terminale:
0 commentaires