Électron dans un Champ Électromagnétique
Comprendre le Mouvement d’un Électron dans un Champ Électromagnétique
Un électron (charge \(e = -1,6 \times 10^{-19}\) C, masse \(m = 9,1 \times 10^{-31}\) kg) entre avec une vitesse initiale \(v_0 = 2,0 \times 10^6\) m/s dans une région où il existe à la fois un champ électrique uniforme et un champ magnétique uniforme.
Le champ électrique \(\vec{E}\) a une intensité de \(1,0 \times 10^3\) V/m dirigée vers le haut. Le champ magnétique \(\vec{B}\) a une intensité de \(5,0 \times 10^{-3}\) T et est dirigé perpendiculairement à la direction du champ électrique, dans le plan horizontal.
L’électron entre dans la région avec sa vitesse initiale perpendiculaire à la fois aux champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\).
Questions:
1. Déterminer la force électrique \(\vec{F}_e\) agissant sur l’électron due au champ électrique.
2. Calculer la force magnétique \(\vec{F}_m\) agissant sur l’électron due au champ magnétique.
3. Décrire la trajectoire de l’électron dans la région des champs. Considérez l’effet combiné des forces électrique et magnétique sur l’électron.
4. Calculer le rayon de la trajectoire circulaire de l’électron dans le champ magnétique. Supposons que la force magnétique agit comme une force centripète.
Données:
- Charge de l’électron: \(e = -1,6 \times 10^{-19}\) C
- Masse de l’électron: \(m = 9,1 \times 10^{-31}\) kg
- Vitesse initiale de l’électron: \(v_0 = 2,0 \times 10^6\) m/s
- Intensité du champ électrique: \(E = 1,0 \times 10^3\) V/m
- Intensité du champ magnétique: \(B = 5,0 \times 10^{-3}\) T
Correction : Électron dans un Champ Électromagnétique
1. Force électrique agissant sur l’électron
La force électrique est donnée par la loi de Coulomb, qui s’exprime comme
\[ F_e = qE \]
où q est la charge de l’électron et E est l’intensité du champ électrique.
- Charge de l’électron : \(e = -1,6 \times 10^{-19}\, \text{C}\)
- Intensité du champ électrique : \(E = 1,0 \times 10^3\, \text{V/m}\)
\[ F_e = (-1,6 \times 10^{-19}\, \text{C}) \times (1,0 \times 10^3\, \text{V/m}) \] \[ F_e = -1,6 \times 10^{-16}\, \text{N}\]
La force électrique est de \(-1,6 \times 10^{-16}\, \text{N}\). La direction de cette force est opposée à celle du champ électrique, indiquant une force dirigée vers le haut (puisque l’électron est négativement chargé et le champ est dirigé vers le haut).
2. Force magnétique agissant sur l’électron
La force magnétique est déterminée par la loi de Lorentz sans la composante électrique :
\[ F_m = |q|vB \]
où v est la vitesse de l’électron et B l’intensité du champ magnétique.
- Vitesse de l’électron : \(v_0 = 2,0 \times 10^6\, \text{m/s}\)
- Intensité du champ magnétique : \(B = 5,0 \times 10^{-3}\, \text{T}\)
\[ F_m = (1,6 \times 10^{-19}\, \text{C}) \times (2,0 \times 10^6\, \text{m/s}) \times (5,0 \times 10^{-3}\, \text{T}) \] \[ F_m = 1,6 \times 10^{-15}\, \text{N} \]
La force magnétique est de \(1,6 \times 10^{-15}\, \text{N}\). Cette force est perpendiculaire à la fois à la direction de la vitesse de l’électron et au champ magnétique, ce qui implique une direction perpendiculaire au plan formé par \(E\) et \(v\).
3. Trajectoire de l’électron
L’électron est soumis à deux forces perpendiculaires : une force électrique verticale et une force magnétique qui dépend de la direction de la vitesse de l’électron.
La combinaison de ces deux forces perpendiculaires crée une trajectoire qui peut être circulaire ou spiralée, selon l’équilibre entre \(F_e\) et \(F_m\).
Dans cet exercice, les forces n’ont pas la même magnitude, ce qui indique que l’électron suivra une trajectoire courbée complexe due à la dominance de la force magnétique.
4. Rayon de la trajectoire circulaire \(r\)
Le rayon de la trajectoire circulaire que l’électron suit sous l’action de la force magnétique, agissant comme une force centripète, est donné par
\[ r = \frac{mv}{|q|B} \]
\[r = \frac{(9,1 \times 10^{-31}\, \text{kg}) \times (2,0 \times 10^6\, \text{m/s})}{(1,6 \times 10^{-19}\, \text{C}) \times (5,0 \times 10^{-3}\, \text{T})} \] \[r = 0,002275\, \text{m}\]
Le rayon de la trajectoire est donc de 2,275 mm. Cela signifie que, sous l’effet de la force magnétique seule, l’électron décrira une trajectoire circulaire de ce rayon autour de la direction du champ magnétique.
Électron dans un Champ Électromagnétique
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