Électron dans un Champ Électromagnétique
Comprendre le Mouvement d’un Électron dans un Champ Électromagnétique
Un électron (charge \(e = -1,6 \times 10^{-19}\) C, masse \(m = 9,1 \times 10^{-31}\) kg) entre avec une vitesse initiale \(v_0 = 2,0 \times 10^6\) m/s dans une région où il existe à la fois un champ électrique uniforme et un champ magnétique uniforme.
Le champ électrique \(\vec{E}\) a une intensité de \(1,0 \times 10^3\) V/m dirigée vers le haut. Le champ magnétique \(\vec{B}\) a une intensité de \(5,0 \times 10^{-3}\) T et est dirigé perpendiculairement à la direction du champ électrique, dans le plan horizontal.
L’électron entre dans la région avec sa vitesse initiale perpendiculaire à la fois aux champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\).
Questions:
1. Déterminer la force électrique \(\vec{F}_e\) agissant sur l’électron due au champ électrique.
2. Calculer la force magnétique \(\vec{F}_m\) agissant sur l’électron due au champ magnétique.
3. Décrire la trajectoire de l’électron dans la région des champs. Considérez l’effet combiné des forces électrique et magnétique sur l’électron.
4. Calculer le rayon de la trajectoire circulaire de l’électron dans le champ magnétique. Supposons que la force magnétique agit comme une force centripète.
Correction : Électron dans un Champ Électromagnétique
1. Calcul de la Force Électrique (Fe)
La force électrique sur une charge dans un champ électrique est donnée par la relation :
\[ F_e = qE \]
où :
- \(q = -1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\) (charge de l’électron)
- \(E = 1.0 \times 10^{3} \, \text{V/m}\) (intensité du champ électrique)
Substituons les valeurs :
\[ F_e = (-1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (1.0 \times 10^{3} \, \text{V/m}) \] \[ F_e = -1.6 \times 10^{-16} \, \text{N} \]
La force électrique est donc de \(-1.6 \times 10^{-16} \, \text{N}\), et elle est dirigée vers le bas, contrairement à la direction du champ électrique (vers le haut), car l’électron est négativement chargé.
2. Calcul de la Force Magnétique (Fm)
La force magnétique sur une charge en mouvement dans un champ magnétique est calculée selon la loi de Lorentz (pour la composante magnétique) :
\[ F_m = |q|vB\sin \theta \]
où :
- \(|q| = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
- \(v = 2.0 \times 10^{6} \, \text{m/s}\) (vitesse de l’électron)
- \(B = 5.0 \times 10^{-3} \, \text{T}\) (intensité du champ magnétique)
- \(\theta = 90^\circ\) car \(v\) est perpendiculaire à \(B\)
Le sinus de \(90^\circ\) est 1, donc :
\[ F_m = (1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (2.0 \times 10^{6} \, \text{m/s}) \times (5.0 \times 10^{-3} \, \text{T}) \] \[ F_m = 1.6 \times 10^{-15} \, \text{N} \]
La force magnétique est donc de \(1.6 \times 10^{-15} \, \text{N}\) et est perpendiculaire à la fois à la direction de la vitesse de l’électron et au champ magnétique, indiquant une direction radiale par rapport au mouvement de l’électron.
3. Description de la Trajectoire de l’Électron
L’électron est influencé par deux forces perpendiculaires : une force électrique verticale et une force magnétique horizontale.
La combinaison de ces deux forces pourrait résulter en une trajectoire hélicoïdale, étant donné que les forces ne se compensent pas exactement et que le mouvement initial de l’électron est perpendiculaire à ces champs.
4. Calcul du Rayon de la Trajectoire Circulaire
Si on suppose que la force magnétique agit seule comme une force centripète, le rayon de la trajectoire circulaire est donné par :
\[ r = \frac{mv}{|q|B} \]
Substituant les valeurs :
\[ r = \frac{(9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg}) \times (2.0 \times 10^{6} \, \text{m/s})}{(1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (5.0 \times 10^{-3} \, \text{T})} \] \[ r = 0.002275 \, \text{m} \] \[ r = 2.275\, \text{mm} \]
Le rayon de la trajectoire circulaire est donc de 2.275 mm, indiquant que sous l’influence de la force magnétique seule, l’électron décrira une trajectoire circulaire de ce rayon autour de la direction du champ magnétique.
Électron dans un Champ Électromagnétique
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