Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Comprendre l’Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

Un avion décolle d’un aéroport et se dirige vers le nord à une vitesse constante de 150 km/h. Après 30 minutes, il tourne vers l’est et augmente sa vitesse à 200 km/h pendant une heure.

Ensuite, il effectue un dernier virage de 45 degrés vers le sud-est et continue à cette direction à une vitesse de 250 km/h pendant 2 heures.

Objectifs:

  1. Représentation des Vecteurs de Déplacement
    • Déterminer les vecteurs de déplacement pour chaque segment du vol.
  2. Calcul de la Distance Totale Parcourue
    • Calculer la distance totale parcourue par l’avion.
  3. Détermination du Vecteur de Déplacement Total
    • Calculer le vecteur de déplacement total en utilisant la somme des vecteurs.
  4. Calcul de la Vitesse Moyenne
    • Déterminer la vitesse moyenne de l’avion pour l’ensemble du trajet.
  5. Analyse de la Direction Finale
    • Calculer l’angle de la direction finale de l’avion par rapport au nord.

Données:

  • Vitesse nord (V1) = 150 km/h, durée = 0.5 h.
  • Vitesse est (V2) = 200 km/h, durée = 1 h.
  • Vitesse sud-est (V3) = 250 km/h, durée = 2 h, direction à 45 degrés par rapport à l’Est.

Correction : Analyse Vectorielle d’un Vol d’Avion

1. Représentation des Vecteurs de Déplacement

Déplacement vers le Nord (D1)

  • Vitesse = 150 km/h
  • Durée = 0.5 h

Déplacement

\[ D1 = 150 \times 0.5 = 75\, \text{km} \]

Puisque le vecteur est vers le nord, nous pouvons le représenter comme \(D1 = 75\hat{j}\) km où \(\hat{j}\) est l’unité vectorielle dans la direction nord.

  • Vecteur:

\[ D_1 = 75 \hat{j} \, \text{km} \]

Déplacement vers l’Est (D2)

  • Vitesse = 200 km/h
  • Durée = 1 h

Déplacement

\[ D2 = 200 \times 1 = 200\, \text{km} \]

Le vecteur est vers l’est, donc \(D2 = 200\hat{i}\) km où \(\hat{i}\) est l’unité vectorielle dans la direction est.

  • Vecteur:

\[ D_2 = 200 \hat{j} \, \text{km} \]

Déplacement vers le Sud-Est (D3)

  • Vitesse = 250 km/h
  • Durée = 2 h

Déplacement

\[ D3 = 250 \times 2 = 500\, \text{km}\]

Pour un déplacement sud-est, le vecteur se divise en deux composantes égales à 45° par rapport à l’Est et au Sud. Donc,

\[ D3 = 500\cos(45^\circ)\hat{i} + 500\sin(45^\circ)\hat{j} \] \[ D3 = 353.55\hat{i} + 353.55\hat{j} km \]

Analyse Vectorielle d'un Vol d'Avion

2. Calcul de la Distance Totale Parcourue

La distance totale parcourue est la somme des magnitudes de chaque déplacement.

\[ D_{\text{totale}} = |D1| + |D2| + |D3| \] \[ = 75 + 200 + 500 \] \[ = 775\, \text{km} \]

3. Vecteur de Déplacement Total

Le vecteur de déplacement total est l’addition vectorielle de \(D1\), \(D2\), et \(D3\).

\[ D_{\text{total}} = D1 + D2 + D3 \] \[ = 75\hat{j} + 200\hat{i} + 353.55\hat{i} + 353.55\hat{j} \]

\[ = (200 + 353.55)\hat{i} + (75 + 353.55)\hat{j} \] \[ = 553.55\hat{i} + 428.55\hat{j} km \]

La magnitude du déplacement total \(D_{\text{total}}\) est alors calculée en utilisant le théorème de Pythagore :

\[ D_{\text{total}} = \sqrt{(553.55)^2 + (428.55)^2} \] \[ D_{\text{total}} \approx 700.06 \, \text{km} \]

Cette magnitude représente le déplacement direct du point de départ au point d’arrivée, sans tenir compte des changements de direction intermédiaires.

4. Vitesse Moyenne

La vitesse moyenne est calculée en divisant le déplacement total par le temps total.

  • Temps Total : \(0.5 + 1 + 2 = 3.5\,h\)

\[ V_{\text{moy}} = \frac{D_{\text{total}}}{t_{\text{total}}} \] \[ V_{\text{moy}} = \frac{700.06}{3.5} \] \[ V_{\text{moy}} \approx 200.02\, \text{km/h} \]

5. Direction Finale

Pour trouver l’angle de la direction finale par rapport au nord, nous calculons l’angle du vecteur de déplacement total.

  • Angle Final par rapport au Nord : L’angle \(\theta\) de la direction finale de l’avion par rapport au nord est calculé comme

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{D_{\text{total}_i}}{D_{\text{total}_j}}\right) \] \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{553.55}{428.55}\right) \] \[ \theta \approx 52.25^\circ\, \text{vers l’est} \]

La direction finale de l’avion par rapport à l’est est d’environ 52.25°, cela signifie que, par rapport au nord, l’avion a dévié d’environ 52.25° vers l’est.

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