Calcul de la Portée d’un Projectile
Comprendre le Calcul de la Portée d’un Projectile
Vous êtes entraîneur d’une équipe de jeunes athlètes spécialisés en lancer de javelot. Pour améliorer les performances de vos athlètes, vous décidez d’appliquer vos connaissances en physique pour prédire la distance que peut parcourir un javelot.
Lors d’une séance d’entraînement au stade local, vous mesurez la vitesse de lancement d’un javelot et décidez d’utiliser ces informations pour calculer la portée maximale que pourrait atteindre le javelot dans des conditions idéales (sans résistance de l’air).
Données:
- Vitesse initiale du javelot (v₀) : 20 m/s
- Angle de lancement du javelot par rapport à l’horizontale (θ) : 45°
- Accélération due à la gravité (g) : 9.81 m/s²
Objectif:
Utilisez les principes de la physique du mouvement projectile pour déterminer la distance maximale que le javelot pourrait atteindre, afin de mieux planifier vos sessions d’entraînement et stratégies de compétition.
Questions:
1. Calculez les composantes horizontale et verticale de la vitesse initiale du javelot.
Ces composantes vous aideront à comprendre comment la vitesse initiale est répartie entre le mouvement horizontal et le mouvement vertical.
2. Déterminez le temps de vol total du javelot, du moment où il quitte la main de l’athlète jusqu’à ce qu’il touche le sol.
Ce calcul vous permettra de savoir pendant combien de temps le javelot reste en l’air.
3. Calculez la portée du javelot, c’est-à-dire la distance horizontale parcourue depuis le point de lancement jusqu’à l’impact au sol.
Cette mesure est cruciale pour évaluer la performance.
Correction : Calcul de la Portée d’un Projectile
1. Calcul des Composantes de la Vitesse Initiale
Les composantes horizontale \(v_x\) et verticale \(v_y\) de la vitesse initiale peuvent être déterminées par les formules suivantes:
- \( v_x = v_0 \cdot \cos(\theta) \)
- \( v_y = v_0 \cdot \sin(\theta) \)
Substituons les valeurs:
\[ v_x = 20 \times \cos(45^\circ) \] \[ v_x = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ v_x = 10\sqrt{2} \, \text{m/s} \] \[ v_x \approx 14.14 \, \text{m/s} \]
\[ v_y = 20 \times \sin(45^\circ) \] \[ v_y = 20 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ v_y = 10\sqrt{2} \, \text{m/s} \] \[ v_y \approx 14.14 \, \text{m/s} \]
2. Temps de Vol Total
Le temps de vol jusqu’au point le plus haut est donné par:
\[ t_{\text{haut}} = \frac{v_y}{g} \]
Le temps de vol total est:
\[ t_{\text{total}} = 2 \times t_{\text{haut}} \]
\[ t_{\text{haut}} = \frac{14.14}{9.81} \] \[ t_{\text{haut}} \approx 1.44 \, \text{s} \]
\[ t_{\text{total}} = 2 \times 1.44 \] \[ t_{\text{total}} \approx 2.88 \, \text{s} \]
3. Calcul de la Portée du Projectile
La portée \(R\) est calculée par:
\[ R = v_x \cdot t_{\text{total}} \]
\[ R = 14.14 \times 2.88 \] \[ R \approx 40.72 \, \text{m} \]
4. Effet d’un Changement d’Angle de Lancement
Si l’angle de lancement est réduit à 30°, les composantes de la vitesse et le temps de vol changeraient, affectant ainsi la portée:
- Nouvelles composantes de vitesse:
\[ v_x = 20 \times \cos(30^\circ) \] \[ v_x = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ v_x \approx 17.32 \, \text{m/s} \]
\[ v_y = 20 \times \sin(30^\circ) \] \[ v_y = 20 \times 0.5 \] \[ v_y = 10 \, \text{m/s} \]
- Nouveau temps de vol total:
\[ t_{\text{haut}} = \frac{10}{9.81} \] \[ t_{\text{haut}} \approx 1.02 \, \text{s} \]
\[ t_{\text{total}} = 2 \times 1.02 \] \[ t_{\text{total}} \approx 2.04 \, \text{s} \]
- Nouvelle portée:
\[ R = 17.32 \times 2.04 \] \[ R \approx 35.33 \, \text{m} \]
Cela montre que la portée diminue lorsque l’angle diminue à 30°, principalement en raison de la réduction du temps de vol, même si la vitesse horizontale augmente.
Calcul de la Portée d’un Projectile
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