Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
Comprendre le Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
Lors d’un match de football, un joueur s’apprête à effectuer un tir libre. Il doit frapper la balle de manière à ce qu’elle passe par-dessus un mur de défenseurs et atteigne le but. Le tir doit être calculé avec précision pour déterminer la trajectoire parfaite, compte tenu de la gravité et de la force initiale du coup.
Pour comprendre l’Étude de la Trajectoire Parabolique en Basketball, cliquez sur le lien.
Données Fournies:
- La distance entre la balle et le but est de 18 mètres.
- La hauteur du mur de défenseurs est de 2 mètres.
- La balle est frappée à une hauteur initiale de 0,22 mètre.
- La gravité \( g \) est approximativement \( 9,81 \, m/s^2 \).
- L’angle d’élévation du tir est de 30 degrés.
- La vitesse initiale de la balle au moment du tir est de 25 m/s.
Questions:
1. Calculer la hauteur maximale atteinte par la balle.
2. Calculer la distance horizontale parcourue lorsque la balle atteint sa hauteur maximale.
3. Vérifier si la balle passe par-dessus le mur.
4. Déterminer le point où la balle touche le sol.
Correction : Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
1. Calcul de la Hauteur Maximale Atteinte par la Balle
La hauteur maximale est atteinte quand la vitesse verticale devient nulle à cause de la gravité.
Formule :
\[ h = h_0 + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t – \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]
Données :
- \(h_0 = 0.22\) m (hauteur initiale)
- \(v_0 = 25\) m/s (vitesse initiale)
- \(\theta = 30^\circ\)
- \(g = 9.81\) m/s² (gravité)
Calcul du temps à la hauteur maximale :
\[ t = \frac{v_0 \cdot \sin(\theta)}{g} \] \[ t = \frac{25 \cdot \sin(30^\circ)}{9.81} \] \[ t \approx 1.274 \, \text{secondes} \]
Calcul de la hauteur maximale :
\[ h = 0.22 + 25 \cdot \sin(30^\circ) \cdot 1.274 – \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (1.274)^2 \] \[ h \approx 8.18 \, \text{mètres} \]
2. Calcul de la Distance Horizontale à la Hauteur Maximale
La distance horizontale à la hauteur maximale est la distance parcourue avant que la balle commence sa descente.
Formule :
\[ x = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t \]
Calcul :
\[ x = 25 \cdot \cos(30^\circ) \cdot 1.274 \] \[ x \approx 27.59 \, \text{mètres} \]
3. Vérification Si la Balle Passe Par-dessus le Mur
Pour vérifier si la balle passe au-dessus du mur, nous calculons la hauteur de la balle à la distance du mur (18 mètres).
Formule :
\[ h = h_0 + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t – \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]
Calcul du temps pour atteindre 18 mètres :
\[ t = \frac{18}{v_0 \cdot \cos(\theta)} \approx 0.831 \, \text{secondes} \]
Calcul de la hauteur au-dessus du mur :
\[ h = 0.22 + 25 \cdot \sin(30^\circ) \cdot 0.831 – \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (0.831)^2 \] \[ h \approx 7.22 \, \text{mètres} \]
La balle passe par-dessus le mur de 2 mètres.
4. Détermination du Point de Chute de la Balle
Le point de chute est calculé en trouvant le temps total de vol jusqu’à ce que la balle retombe à sa hauteur initiale.
Formule Quadratique :
\[ 0 = h_0 + v_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t – \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]
Calcul du Temps Total de Vol Jusqu’à ce que la Balle Touche le Sol :
\[ 0 = 0.22 + 25 \cdot 0.5 \cdot t – \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot t^2 \] \[ t \approx 2.53 \, \text{s} \]
Calcul de la Distance Horizontale Totale :
\[ x = 25 \cdot \cos(30^\circ) \cdot 2.53 \] \[ x \approx 54.82 \, \text{m} \]
Calcul de la Trajectoire d’une Balle au Football
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