Calcul de la vitesse dans les montagnes russes
Comprendre le Calcul de la vitesse dans les montagnes russes
Tu es un ingénieur qui travaille sur la conception d’une nouvelle montagne russe excitante dans un parc d’attractions.
Une des phases cruciales de ton projet est de s’assurer que la montagne russe est à la fois amusante et sécurisée.
Une partie importante de cette tâche consiste à calculer l’énergie cinétique des wagons à différents points du parcours.
Données fournies pour l’exercice:
- La hauteur initiale de la première descente de la montagne russe est de 45 mètres.
- La masse d’un wagon rempli de passagers est de 800 kg.
Questions:
1. Calcul de l’énergie potentielle gravitationnelle au sommet:
Utilisez la formule de l’énergie potentielle gravitationnelle \( E_p = m \cdot g \cdot h \) où \( m \) est la masse, \( g \) est l’accélération due à la gravité (environ \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \)) et \( h \) est la hauteur.
2. Transformation en énergie cinétique:
Supposez que toute l’énergie potentielle gravitationnelle est convertie en énergie cinétique au bas de la descente (ignorez les frottements pour simplifier). Utilisez la formule de l’énergie cinétique: \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \) et calculez la vitesse \( v \) des wagons au bas de la descente.
3. Analyse de la sécurité:
Discutez si la vitesse calculée semble sécuritaire pour un wagon de montagne russe, sachant que les vitesses typiques pour les montagnes russes varient entre 20 et 40 m/s.
Correction : Calcul de la vitesse dans les montagnes russes
1. Calcul de l’énergie potentielle gravitationnelle au sommet
L’énergie potentielle gravitationnelle (\(E_p\)) se calcule avec la formule :
\[ E_p = m \times g \times h \]
où :
- \(m = 800 \, \text{kg}\) (masse du wagon avec les passagers)
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\) (accélération due à la gravité)
- \(h = 45 \, \text{m}\) (hauteur de la première descente)
En substituant ces valeurs, nous obtenons :
\[ E_p = 800 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 45 \, \text{m} \] \[ E_p = 353370 \, \text{joules} \]
Donc, l’énergie potentielle gravitationnelle au sommet est de 353,370 joules.
2. Transformation en énergie cinétique
En supposant que toute l’énergie potentielle se convertit en énergie cinétique (\(E_k\)) au point le plus bas de la descente, nous utilisons la formule :
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]
où \(E_k\) est l’énergie cinétique et \(v\) la vitesse du wagon au bas de la descente.
Étant donné que \(E_p = E_k\) (sans frottement), nous avons :
\[ 353370 \, \text{joules} = \frac{1}{2} \times 800 \, \text{kg} \times v^2 \] \[ v^2 = \frac{353370 \times 2}{800} = 883.425 \] \[ v = \sqrt{883.425} \] \[ v \approx 29.72 \, \text{m/s} \]
Donc, la vitesse des wagons au bas de la descente est d’environ 29.72 m/s.
3. Analyse de la sécurité
La vitesse calculée est de 29.72 m/s, ce qui se situe dans l’intervalle typique des vitesses de montagnes russes (entre 20 et 40 m/s). Cela indique que la vitesse est sécuritaire selon les normes habituelles pour les montagnes russes.
Cependant, il est essentiel de prendre en compte d’autres facteurs de sécurité, comme la conception des virages, la maintenance de la piste, et les mesures de sécurité des harnais et des sièges.
Calcul de la vitesse dans les montagnes russes
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