Calcul de la vitesse d’un parachutiste
Comprendre le Calcul de la vitesse d’un parachutiste
Lors d’un saut en parachute, un parachutiste de masse constante effectue une chute libre avant d’ouvrir son parachute.
Cet exercice propose de calculer la vitesse du parachutiste juste avant l’ouverture du parachute.
Données :
- Masse du parachutiste : \( m = 70 \, \text{kg} \)
- Altitude de saut : \( h = 3000 \, \text{m} \)
- Altitude d’ouverture du parachute : \( h_0 = 1500 \, \text{m} \)
- Accélération due à la gravité : \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
- Résistance de l’air négligée avant l’ouverture du parachute.
Question :
Calculez la vitesse du parachutiste au moment où il ouvre son parachute.
Correction : Calcul de la vitesse d’un parachutiste
1. Utilisation de la conservation de l’énergie mécanique :
L’énergie mécanique totale au point de saut initial (à \( h \)) est donnée par la somme de l’énergie cinétique \( E_c \) et l’énergie potentielle \( E_p \). À l’altitude de saut initiale, la vitesse est nulle (\( v_0 = 0 \, \text{m/s} \)), donc l’énergie cinétique est aussi nulle.
\[ E_{\text{totale}} = \frac{1}{2} m v_0^2 + mgh \] \[ E_{\text{totale}} = 0 + 70 \times 9.81 \times 3000 \]
Calcul de l’énergie mécanique totale à \( h \) :
\[ E_{\text{totale}} = 70 \times 9.81 \times 3000 \] \[ E_{\text{totale}} = 2051130 \, \text{Joules} \]
2. Énergie mécanique au moment de l’ouverture du parachute (à \( h_0 \)) :
À cette altitude, le parachutiste a une vitesse \( v \) et l’énergie mécanique est encore conservée.
\[ \frac{1}{2} m v^2 + mgh_0 = E_{\text{totale}} \] \[ \frac{1}{2} 70 v^2 + 70 \times 9.81 \times 1500 = 2051130 \]
Isoler \( v^2 \) dans l’équation :
\[ \frac{1}{2} 70 v^2 = 2051130 – 70 \times 9.81 \times 1500 \] \[ \frac{1}{2} 70 v^2 = 2051130 – 1025565 \] \[ \frac{1}{2} 70 v^2 = 1025565 \] \[ 35 v^2 = 1025565 \] \[ v^2 = \frac{1025565}{35} \] \[ v^2 = 29287.57 \]
Calcul de la vitesse \( v \) :
\[ v = \sqrt{29287.57} \] \[ v \approx 171.13 \, \text{m/s} \]
Conclusion :
La vitesse du parachutiste au moment de l’ouverture du parachute est approximativement de 171.13 m/s.
Cette valeur permet de comprendre l’impact de la chute libre en négligeant la résistance de l’air sur l’accélération d’un corps en mouvement vertical.
Calcul de la vitesse d’un parachutiste
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