Calcul du champ magnétique d’un fil
Comprendre le Calcul du champ magnétique d’un fil
Un fil conducteur souple est formé en demi-cercle de rayon \(R\) et transporte un courant constant \(I\).
Le fil est placé dans le plan \(xy\), centré à l’origine, avec les extrémités du demi-cercle situées en \((R,0)\) et \((-R,0)\).
On néglige la résistance du fil et les effets de bord.
Question 1: Expression du champ magnétique
Déterminez l’expression du champ magnétique \(\vec{B}\) au centre du demi-cercle en utilisant la loi de Biot-Savart.
Question 2: Calcul numérique du champ magnétique
Calculez numériquement le champ magnétique au centre du demi-cercle pour \(I = 10 \, \text{A}\) et \(R = 0.5 \, \text{m}\).
Correction : Calcul du champ magnétique d’un fil
Question 1 : Expression du Champ Magnétique au Centre
1. Définition des Variables :
- Intensité du courant \(I = 10 \, \text{A}\)
- Rayon du demi-cercle \(R = 0.5 \, \text{m}\)
- Perméabilité du vide \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}\)
2. Formulation selon la Loi de Biot-Savart :
La loi de Biot-Savart donne le champ magnétique créé par un élément de courant :
\[ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} \]
Pour un fil en demi-cercle, les éléments de longueur \(d\vec{l}\) sont tous perpendiculaires au rayon \(\vec{r}\), et \(r\) est constant égal à \(R\).
La contribution de chaque élément de courant au champ magnétique est donc dirigée perpendiculairement au plan du cercle.
3. Calcul du Champ Magnétique au Centre:
- Expression Vectorielle :
Le vecteur \(\vec{d\ell}\) a une direction tangentielle au cercle, avec une magnitude \(R d\theta\).
Le vecteur \(\vec{r}\) a une magnitude \(R\) et est radialement vers l’intérieur. \(\vec{d\ell} \times \vec{r}\) produit une direction hors du plan (vers z) avec une magnitude \(R^2 d\theta\).
- Intégration :
Puisque le produit vectoriel pointe de manière uniforme hors du plan pour chaque segment de fil, l’intégration se simplifie à:
\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int_0^\pi \frac{R^2 d\theta}{R^3} \hat{z} \] \[ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \int_0^\pi d\theta \hat{z} \] \[ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4 R} \pi \hat{z} \] \[ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4 R} \hat{z} \]
Question 2 : Calcul Numérique du Champ Magnétique
1. Substitution des Valeurs :
Substituons les valeurs de \(I\), \(R\), et \(\mu_0\) dans l’expression obtenue :
\[ \vec{B} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \times 0.5} \hat{z} \] \[ \vec{B} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2} \hat{z} \] \[ \vec{B} = 2\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \, \hat{z} \]
Résultat Final :
Le champ magnétique au centre du demi-cercle est \(2\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\) dirigé perpendiculairement au plan du cercle.
Calcul du champ magnétique d’un fil
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