Calcul du champ magnétique d’un fil

Calcul du champ magnétique d’un fil

Comprendre le Calcul du champ magnétique d’un fil

Un fil conducteur souple est formé en demi-cercle de rayon \(R\) et transporte un courant constant \(I\).

Le fil est placé dans le plan \(xy\), centré à l’origine, avec les extrémités du demi-cercle situées en \((R,0)\) et \((-R,0)\).

On néglige la résistance du fil et les effets de bord.

Question 1: Expression du champ magnétique

Déterminez l’expression du champ magnétique \(\vec{B}\) au centre du demi-cercle en utilisant la loi de Biot-Savart.

Question 2: Calcul numérique du champ magnétique

Calculez numériquement le champ magnétique au centre du demi-cercle pour \(I = 10 \, \text{A}\) et \(R = 0.5 \, \text{m}\).

Correction : Calcul du champ magnétique d’un fil

Question 1 : Expression du Champ Magnétique au Centre

1. Définition des Variables :

  • Intensité du courant \(I = 10 \, \text{A}\)
  • Rayon du demi-cercle \(R = 0.5 \, \text{m}\)
  • Perméabilité du vide \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}\)

2. Formulation selon la Loi de Biot-Savart :

La loi de Biot-Savart donne le champ magnétique créé par un élément de courant :
\[ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} \]

Pour un fil en demi-cercle, les éléments de longueur \(d\vec{l}\) sont tous perpendiculaires au rayon \(\vec{r}\), et \(r\) est constant égal à \(R\).

La contribution de chaque élément de courant au champ magnétique est donc dirigée perpendiculairement au plan du cercle.

3. Calcul du Champ Magnétique au Centre:

  • Expression Vectorielle :

Le vecteur \(\vec{d\ell}\) a une direction tangentielle au cercle, avec une magnitude \(R d\theta\).

Le vecteur \(\vec{r}\) a une magnitude \(R\) et est radialement vers l’intérieur. \(\vec{d\ell} \times \vec{r}\) produit une direction hors du plan (vers z) avec une magnitude \(R^2 d\theta\).

  • Intégration :

Puisque le produit vectoriel pointe de manière uniforme hors du plan pour chaque segment de fil, l’intégration se simplifie à:

\[ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int_0^\pi \frac{R^2 d\theta}{R^3} \hat{z} \] \[ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \int_0^\pi d\theta \hat{z} \] \[ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4 R} \pi \hat{z} \] \[ \vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4 R} \hat{z} \]

Question 2 : Calcul Numérique du Champ Magnétique

1. Substitution des Valeurs :

Substituons les valeurs de \(I\), \(R\), et \(\mu_0\) dans l’expression obtenue :

\[ \vec{B} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \times 0.5} \hat{z} \] \[ \vec{B} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2} \hat{z} \] \[ \vec{B} = 2\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \, \hat{z} \]

Résultat Final :

Le champ magnétique au centre du demi-cercle est \(2\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\) dirigé perpendiculairement au plan du cercle.

Calcul du champ magnétique d’un fil

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