Rotation d’un Disque sous l’Effet d’un Couple
Comprendre la Rotation d’un Disque sous l’Effet d’un Couple
Un disque homogène de masse m = 5 kg et de rayon R = 0.2 m est initialement au repos sur un axe de rotation qui passe par son centre. Un couple constant de 10 Nm est appliqué au disque.
1. Calculer le moment d’inertie du disque par rapport à l’axe de rotation.
Utilisez la formule du moment d’inertie d’un disque homogène par rapport à son axe central
2. Déterminer l’accélération angulaire du disque.
Appliquez la deuxième loi de Newton pour la rotation
3. Calculer l’angle de rotation \(\theta\) du disque après \(4\,\text{secondes}\).
Utilisez l’équation du mouvement de rotation avec accélération angulaire constante
Pour cet exercice, assumez que la vitesse angulaire initiale \(\omega_0 = 0\,\text{rad/s}\) puisque le disque part du repos.
Correction : Rotation d’un Disque sous l’Effet d’un Couple
1. Calcul du moment d’inertie \(I\)
Le moment d’inertie \(I\) d’un disque par rapport à son axe central est donné par la formule:
\[I = \frac{1}{2} mR^2\]
où
- \(m = 5\, \text{kg}\) est la masse du disque,
- \(R = 0.2\, \text{m}\) est le rayon du disque.
Substituons les valeurs données:
\[I = \frac{1}{2} \times 5\, \text{kg} \times (0.2\, \text{m})^2\] \[I = 0.1\, \text{kg} \cdot \text{m}^2\]
2. Détermination de l’accélération angulaire \(\alpha\)
La deuxième loi de Newton pour la rotation relie le couple \(\tau\), le moment d’inertie \(I\), et l’accélération angulaire \(\alpha\) par la relation:
\[\tau = I\alpha\]
où
- \(\tau = 10\, \text{Nm}\) est le couple appliqué.
Rearrangeons cette équation pour résoudre \(\alpha\):
\[\alpha = \frac{\tau}{I}\]
Substituons les valeurs trouvées et données:
\[\alpha = \frac{10\, \text{Nm}}{0.1\, \text{kg} \cdot \text{m}^2}\] \[\alpha = 100\, \text{rad/s}^2\]
3. Calcul de l’angle de rotation \(\theta\) après 4 secondes
L’angle de rotation \(\theta\), avec une accélération angulaire constante, est donné par l’équation:
\[\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2\]
où
- \(\omega_0 = 0\, \text{rad/s}\) est la vitesse angulaire initiale,
- \(t = 4\, \text{s}\) est le temps écoulé,
- \(\alpha = 100\, \text{rad/s}^2\) est l’accélération angulaire trouvée précédemment.
Substituons les valeurs:
\[\theta = 0 \times 4 + \frac{1}{2} \times 100 \times 4^2\] \[\theta = 800\, \text{radians}\]
Résumé des résultats
- Moment d’inertie \(I\): Le moment d’inertie du disque est de \(0.1\, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).
- Accélération angulaire \(\alpha\): L’accélération angulaire du disque sous l’effet du couple appliqué est de \(100\, \text{rad/s}^2\).
- Angle de rotation \(\theta\): L’angle de rotation du disque après \(4\, \text{secondes}\) est de \(800\, \text{radians}\).
Rotation d’un Disque sous l’Effet d’un Couple
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