Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique

Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique

Comprendre le Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique

Dans le cadre d’une étude sur les systèmes rotatifs, nous considérons un carrousel de forme cylindrique, utilisé pour des démonstrations en physique. Le carrousel a un toit plat qui peut être approximé comme un disque mince.

Les étudiants sont invités à calculer le moment d’inertie du toit du carrousel par rapport à son axe de rotation, une information cruciale pour comprendre la dynamique de sa rotation.

Données:

  • Masse du toit du carrousel, \( M \): 200 kg
  • Rayon du toit du carrousel, \( R \): 3 mètres
  • Le toit est approximé comme un disque mince et uniforme.

Questions:

1. Calculer le moment d’inertie du toit du carrousel.

2. Supposons que le carrousel doit être mis en rotation jusqu’à atteindre une vitesse angulaire de 2 radians par seconde. Calculer l’énergie cinétique de rotation du toit du carrousel.

3. Discuter comment l’augmentation du rayon du toit affecterait le moment d’inertie et la facilité avec laquelle le carrousel peut être mis en rotation.

Correction : Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique

1. Calcul du Moment d’Inertie

Pour un disque mince et uniforme, le moment d’inertie \(I\) autour d’un axe perpendiculaire passant par le centre est donné par :

\[ I = \frac{1}{2} M R^2 \]

En substituant les valeurs données :

  • Masse \(M = 200 \, \text{kg}\)
  • Rayon \(R = 3 \, \text{mètres}\)

\[ I = \frac{1}{2} \times 200 \, \text{kg} \times (3 \, \text{m})^2 \] \[ I = \frac{1}{2} \times 200 \times 9 \] \[ I = 900 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \]

Le moment d’inertie du toit du carrousel est donc \(900 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).

2. Calcul de l’Énergie Cinétique de Rotation

L’énergie cinétique de rotation \(K\) est donnée par la formule :

\[ K = \frac{1}{2} I \omega^2 \]

En utilisant le moment d’inertie calculé précédemment et une vitesse angulaire \(\omega = 2 \, \text{rad/s}\) :

\[ K = \frac{1}{2} \times 900 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \times (2 \, \text{rad/s})^2 \] \[ K = \frac{1}{2} \times 900 \times 4 \] \[ K = 1800 \, \text{J} \]

L’énergie cinétique de rotation du toit du carrousel, lorsqu’il tourne à cette vitesse, est donc \(1800 \, \text{J}\).

3. Impact de l’Augmentation du Rayon sur le Moment d’Inertie

Le moment d’inertie \(I\) est proportionnel au carré du rayon \(R\). Ainsi, si le rayon augmente, le moment d’inertie augmente selon le carré de l’augmentation du rayon.

Cela signifie que pour une augmentation même modeste du rayon, le moment d’inertie peut augmenter de manière significative.

Ceci a pour effet de rendre plus difficile la mise en rotation du carrousel à une vitesse angulaire donnée, car un moment d’inertie plus grand nécessite plus d’énergie pour atteindre la même vitesse angulaire.

Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique

D’autres exercices de physique université:

0 commentaires

Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Mobilité des électrons dans un semi-conducteur

Mobilité des électrons dans un semi-conducteur Comprendre la Mobilité des électrons dans un semi-conducteur Dans le domaine des semi-conducteurs, la mobilité des électrons est un facteur crucial qui affecte la performance des dispositifs électroniques tels que les...

Lois de Newton pour la Rotation

Lois de Newton pour la Rotation Comprendre les Lois de Newton pour la Rotation Imaginez qu'un ingénieur travaille sur la conception d'une nouvelle roue pour un véhicule électrique. La roue est conçue pour maximiser l'efficacité du transfert de puissance du moteur à la...

Calcul du champ magnétique d’un fil

Calcul du champ magnétique d'un fil Comprendre le Calcul du champ magnétique d'un fil Un fil conducteur souple est formé en demi-cercle de rayon \(R\) et transporte un courant constant \(I\). Le fil est placé dans le plan \(xy\), centré à l'origine, avec les...

Induction Électromagnétique et Loi de Faraday

Induction Électromagnétique et Loi de Faraday Comprendre l'Induction Électromagnétique et Loi de Faraday Un solénoïde de 100 spires a un rayon de 0,05 m et une longueur de 0,1 m. Il est placé dans un champ magnétique uniforme qui varie à un taux constant. Le champ...

Calcul de la Force Magnétique sur un Proton

Calcul de la Force Magnétique sur un Proton Comprendre le Calcul de la Force Magnétique sur un Proton Un proton se déplace dans un accélérateur de particules avec une vitesse de \(5 \times 10^6\) m/s dans une direction faisant un angle de \(60^\circ\) par rapport à un...

Rotation d’un Disque sous l’Effet d’un Couple

Rotation d'un Disque sous l'Effet d'un Couple Comprendre la Rotation d'un Disque sous l'Effet d'un Couple Un disque homogène de masse m = 5 kg et de rayon R = 0.2 m est initialement au repos sur un axe de rotation qui passe par son centre. Un couple constant de 10 Nm...

Moment d’Inertie d’un Système Composé

Moment d'Inertie d'un Système Composé Comprendre le Moment d'Inertie d'un Système Composé Un système est composé d'une barre mince homogène de masse M et de longueur L, avec deux petites masses (m1 et m2) attachées à ses extrémités. La barre est positionnée...

Mouvement Linéaire avec Accélération Constante

Mouvement Linéaire avec Accélération Constante Comprendre le Mouvement Linéaire avec Accélération Constante Une voiture accélère à partir du repos sur une piste droite. Elle atteint une vitesse de 20 m/s en 10 secondes. On suppose que l'accélération est constante....

La Montagne Russe Sans Frottement

La Montagne Russe Sans Frottement Comprendre La Montagne Russe Sans Frottement Un wagon de montagne russe, de masse m = 500 kg, est lâché d'un point A situé à h = 40 m au-dessus du sol. Le wagon descend le long d'une piste puis remonte jusqu'à un point B situé à une...

Collision dans l’Espace

Collision dans l'Espace Comprendre la Collision dans l'Espace Deux satellites, A et B, se déplacent dans l'espace sur la même ligne droite. Le satellite A, avec une masse de 1500 kg, se déplace à une vitesse de 7 m/s vers l'est. Le satellite B, avec une masse de 2000...