Moment d’Inertie d’un Système Composé
Comprendre le Moment d’Inertie d’un Système Composé
Un système est composé d’une barre mince homogène de masse M et de longueur L, avec deux petites masses (m1 et m2) attachées à ses extrémités.
La barre est positionnée horizontalement et peut pivoter autour d’un axe vertical passant par son centre.
La masse m1 est attachée à l’extrémité gauche de la barre, et la masse m2 à l’extrémité droite.
Données:
- Masse de la barre, M = 4 kg
- Longueur de la barre, L = 2 m
- Masse m1 = 1 kg
- Masse m2 = 2 kg
- L’axe de rotation passe par le centre de la barre.
Objectifs:
1. Calculer le moment d’inertie de la barre mince homogène autour de l’axe de rotation.
2. Calculer le moment d’inertie des masses ponctuelles (\(m_1\) et \(m_2\)) autour du même axe.
3. Déterminer le moment d’inertie total du système en combinant les résultats des étapes 1 et 2.
Correction : Moment d’Inertie d’un Système Composé
1. Calcul du Moment d’Inertie de la Barre
Formule Utilisée:
Le moment d’inertie d’une barre mince homogène autour de son centre est donné par la formule
\[I_{\text{barre}} = \frac{1}{12} M L^2.\]
Calcul:
\[ I_{\text{barre}} = \frac{1}{12} \times 4\, \text{kg} \times (2\, \text{m})^2 \] \[ I_{\text{barre}} = 1.33\, \text{kg} \cdot \text{m}^2.\]
2. Calcul du Moment d’Inertie des Masses Ponctuelles
Formule Utilisée:
Le moment d’inertie d’une masse ponctuelle par rapport à un axe est
\[I_{\text{masse}} = m r^2,\]
où r est la distance de la masse à l’axe.
Calcul pour m1:
La distance r de m1 à l’axe est \(L/2 = 1\, \text{m}\). Donc,
\[I_{m_1} = 1\, \text{kg} \times (1\, \text{m})^2 \] \[I_{m_1} = 1.00\, \text{kg} \cdot \text{m}^2.\]
Calcul pour m2:
La distance r de m2 à l’axe est \(L/2 = 1\, \text{m}\). Donc,
\[I_{m_2} = 2\, \text{kg} \times (1\, \text{m})^2 \] \[I_{m_2} = 2.00\, \text{kg} \cdot \text{m}^2.\]
3. Calcul du Moment d’Inertie Total du Système
Le moment d’inertie total du système est la somme des moments d’inertie de la barre et des deux masses ponctuelles.
\[I_{\text{total}} = I_{\text{barre}} + I_{m_1} + I_{m_2} \] \[I_{\text{total}} = 1.33 + 1.00 + 2.00 \] \[I_{\text{total}} = 4.33\, \text{kg} \cdot \text{m}^2.\]
Conclusion
Le moment d’inertie total du système est de \(4.33\, \text{kg} \cdot \text{m}^2\). Cette solution combine l’application de formules spécifiques pour le calcul du moment d’inertie d’une barre et de masses ponctuelles, ainsi que la compréhension de la configuration physique du système pour déterminer correctement les distances r des masses à l’axe de rotation.
Moment d’Inertie d’un Système Composé
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