Moment d’Inertie d’un Système Composé
Comprendre le Moment d’Inertie d’un Système Composé
Un système est composé d’une barre mince homogène de masse M et de longueur L, avec deux petites masses (m1 et m2) attachées à ses extrémités. La barre est positionnée horizontalement et peut pivoter autour d’un axe vertical passant par son centre. La masse m1 est attachée à l’extrémité gauche de la barre, et la masse m2 à l’extrémité droite.
Données:
- Masse de la barre, M = 4 kg
- Longueur de la barre, L = 2 m
- Masse m1 = 1 kg
- Masse m2 = 2 kg
- L’axe de rotation passe par le centre de la barre.
Questions:
1. Calculer le moment d’inertie de la barre mince homogène autour de l’axe de rotation.
2. Calculer le moment d’inertie des masses ponctuelles (\(m_1\) et \(m_2\)) autour du même axe.
3. Déterminer le moment d’inertie total du système en combinant les résultats des étapes 1 et 2.
Correction : Moment d’Inertie d’un Système Composé
1. Calcul du moment d’inertie de la barre mince homogène
Pour une barre mince homogène pivotant autour d’un axe perpendiculaire à sa longueur et passant par son centre, le moment d’inertie est donné par la formule :
\[ I_{\text{barre}} = \frac{1}{12} M L^2 \]
Données et Substitution :
- \( M = 4\,\text{kg} \)
- \( L = 2\,\text{m} \)
Calcul :
\[ I_{\text{barre}} = \frac{1}{12} \times 4\,\text{kg} \times (2\,\text{m})^2 \] \[ I_{\text{barre}} = \frac{1}{12} \times 4 \times 4 \] \[ I_{\text{barre}} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2, \]
2. Calcul du moment d’inertie des masses ponctuelles
Pour une masse ponctuelle, le moment d’inertie est donné par :
\[ I = m\,r^2 \]
où \( r \) est la distance entre la masse et l’axe de rotation.
Ici, chaque extrémité de la barre est à une distance de :
\[ r = \frac{L}{2} = \frac{2\,\text{m}}{2} = 1\,\text{m} \]
Calcul pour \( m_1 \) :
\[ I_{m_1} = m_1 \times \left(\frac{L}{2}\right)^2 \] \[ I_{m_1} = 1\,\text{kg} \times (1\,\text{m})^2 \] \[ I_{m_1} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 \]
Calcul pour \( m_2 \) :
\[ I_{m_2} = m_2 \times \left(\frac{L}{2}\right)^2 \] \[ I_{m_2} = 2\,\text{kg} \times (1\,\text{m})^2 \] \[ I_{m_2} = 2\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 \]
3. Détermination du moment d’inertie total du système
Le moment d’inertie total \( I_{\text{total}} \) est la somme des moments d’inertie de la barre et de ceux des masses ponctuelles :
\[ I_{\text{total}} = I_{\text{barre}} + I_{m_1} + I_{m_2} \]
Substitution et Calcul :
\[ I_{\text{total}} = \frac{4}{3}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 + 1\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 + 2\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 \]
On additionne d’abord les contributions des masses ponctuelles :
\[ 1 + 2 = 3\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 \]
Ensuite, nous avons :
\[ I_{\text{total}} = \frac{4}{3} + 3 \] \[ I_{\text{total}} = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} \] \[ I_{\text{total}} = \frac{13}{3}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 \]
En valeur décimale :
\[ I_{\text{total}} \approx 4,33\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 \]
Conclusion
Le moment d’inertie total du système composé (barre + masses ponctuelles) est :
\[ I_{\text{total}} = \frac{13}{3}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 \approx 4,33\,\text{kg}\cdot\text{m}^2 \]
Moment d’Inertie d’un Système Composé
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