Lois de Newton pour la Rotation
Comprendre les Lois de Newton pour la Rotation
Imaginez qu’un ingénieur travaille sur la conception d’une nouvelle roue pour un véhicule électrique.
La roue est conçue pour maximiser l’efficacité du transfert de puissance du moteur à la route.
L’ingénieur doit s’assurer que la conception de la roue permet un démarrage efficace sans glissement excessif.
Pour ce faire, il est essentiel de comprendre le moment d’inertie de la roue et l’effet des forces appliquées.
Données:
- Masse de la roue, \( m \): 20 kg
- Rayon de la roue, \( r \): 0.5 m
- Coefficient de frottement entre la roue et la route, \( \mu \): 0.3
- Force appliquée par le moteur sous forme de couple, \( \tau \): 150 Nm
Questions:
1. Calculer le Moment d’Inertie de la Roue:
Supposons que la roue peut être approximée comme un disque solide.
2. Calculer l’Accélération Angulaire \( \alpha \) de la Roue:
Utilisez la deuxième loi de Newton pour la rotation, \( \tau = I \alpha \), pour trouver l’accélération angulaire de la roue lorsque le couple est appliqué.
3. Déterminer la Force de Frottement Nécessaire pour Éviter le Glissement:
La force de frottement maximale avant le glissement est donnée par: \( F_{\text{friction}} = \mu N \) où \( N = m g \) est la force normale (supposons que la gravité, \( g \), est de 9.81 m/s\(^2\)). Vérifiez si le frottement peut empêcher la roue de glisser en comparant avec la force tangentielle due à l’accélération angulaire, \( F_{\text{tangentielle}} = \alpha r \).
4. Évaluer le Risque de Glissement à l’Accélération Maximale
Discutez si la force de frottement disponible est suffisante pour supporter la force tangentielle exercée par le couple moteur sans que la roue ne commence à glisser. Si elle glisse, déterminez l’implication sur le démarrage du véhicule.
Correction : Lois de Newton pour la Rotation
1. Calcul du Moment d’Inertie
Le moment d’inertie \( I \) pour un disque est donné par la formule:
\[ I = \frac{1}{2} m r^2 \]
Substituant les valeurs données:
\[ I = \frac{1}{2} \times 20 \, \text{kg} \times (0.5 \, \text{m})^2 \] \[ I = \frac{1}{2} \times 20 \times 0.25 \] \[ I = 2.5 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \]
2. Calcul de l’Accélération Angulaire \( \alpha \)
La seconde loi de Newton pour la rotation est exprimée par:
\[ \tau = I \alpha \]
En isolant \( \alpha \):
\[ \alpha = \frac{\tau}{I} \] \[ \alpha = \frac{150 \, \text{Nm}}{2.5 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2} \] \[ \alpha = 60 \, \text{rad/s}^2 \]
3. Détermination de la Force de Frottement \( F_{\text{friction}} \)
La force normale \( N \) est égale au poids de la roue, soit:
\[ N = m g \quad \text{où} \quad g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \] \[ N = 20 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 = 196.2 \, \text{N} \]
La force de frottement maximale est:
\[ F_{\text{friction}} = \mu N = 0.3 \times 196.2 \, \text{N} \] \[ F_{\text{friction}} = 58.86 \, \text{N} \]
4. Calcul de la Force Tangentielle \( F_{\text{tangentielle}} \)
La force tangentielle est la force radiale nécessaire pour maintenir la rotation sans glissement, calculée par:
\[ F_{\text{tangentielle}} = \alpha r \] \[ F_{\text{tangentielle}} = 60 \, \text{rad/s}^2 \times 0.5 \, \text{m} \] \[ F_{\text{tangentielle}} = 30.0 \, \text{N} \]
5. Comparaison et Conclusion sur le Risque de Glissement
La force de frottement disponible \( 58.86 \, \text{N} \) est supérieure à la force tangentielle \( 30.0 \, \text{N} \), indiquant que la roue peut transmettre le couple sans glisser.
La roue est donc bien conçue pour éviter le glissement au démarrage, garantissant un transfert efficace de la puissance.
Conclusion
La roue conçue pour le véhicule électrique est capable de démarrer efficacement sans glissement grâce à un couple suffisant et un bon coefficient de frottement.
Cela confirme que la conception répond aux exigences du démarrage sans compromettre la transmission de la puissance au sol.
Lois de Newton pour la Rotation
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