La Chute Libre d'une Bille
Contexte : La chute libreMouvement d'un corps soumis uniquement à son propre poids. Les autres forces, comme la résistance de l'air, sont considérées comme négligeables..
Cet exercice classique de la mécanique newtonienne nous invite à étudier le mouvement d'un objet, ici une bille d'acier, lâché sans vitesse initiale depuis une grande hauteur. En modélisant ce mouvement comme une chute libre, nous pourrons appliquer les lois fondamentales de la dynamique pour déterminer ses caractéristiques cinématiques : accélération, vitesse et position au cours du temps. C'est une situation idéale pour comprendre l'effet de la gravité sur les objets proches de la surface de la Terre.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser la méthodologie complète de résolution d'un problème de mécanique : définition du système et du référentiel, bilan des forces, application de la deuxième loi de Newton, et enfin détermination des équations du mouvement par intégrations successives.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la deuxième loi de Newton dans un référentiel galiléenUn référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié : tout corps ponctuel isolé est en mouvement rectiligne uniforme ou au repos..
- Établir les équations horaires (position, vitesse, accélération) d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
- Exploiter ces équations pour calculer des grandeurs cinématiques comme une durée de chute ou une vitesse d'impact.
Données de l'étude
Schéma de la situation
Modélisation du problème
| Grandeur | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur de chute | \(h\) | 116 | \(\text{m}\) |
| Masse de la bille | \(m\) | 50 | \(\text{g}\) |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 0 | \(\text{m/s}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | \(\text{m·s⁻²}\) |
Questions à traiter
- Définir le système et le référentiel d'étude. Faire le bilan des forces et appliquer la deuxième loi de Newton pour déterminer le vecteur accélération de la bille.
- Par intégrations successives, établir les équations horaires de la vitesse \(v_z(t)\) et de la position \(z(t)\) de la bille selon l'axe vertical.
- Calculer la durée de la chute, c'est-à-dire le temps \(t_{\text{sol}}\) mis par la bille pour atteindre le sol.
- En déduire la vitesse \(v_{\text{sol}}\) de la bille juste avant l'impact avec le sol. Convertir cette vitesse en km/h.
- La durée de la chute dépend-elle de la masse de la bille ? Justifier la réponse.
Les bases sur la Chute Libre
Pour aborder cet exercice, deux concepts fondamentaux de la mécanique sont nécessaires.
1. La Deuxième Loi de Newton (ou Principe Fondamental de la Dynamique)
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système est égale au produit de la masse du système par son vecteur accélération.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
C'est la loi qui relie la cause du mouvement (les forces) à ses conséquences cinématiques (l'accélération).
2. Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
C'est un mouvement où l'accélération est un vecteur constant. Les équations horaires qui le décrivent s'obtiennent par intégration :
- Accélération : \(a(t) = a_0\) (constante)
- Vitesse : \(v(t) = a_0 \cdot t + v_0\)
- Position : \(x(t) = \frac{1}{2} a_0 \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0\)
Correction : La Chute Libre d'une Bille
Question 1 : Détermination de l'accélération
Principe
L'objectif est de trouver comment le mouvement de la bille varie. Pour cela, on utilise l'outil le plus puissant de la dynamique : la deuxième loi de Newton, qui relie les forces agissant sur l'objet à son accélération.
Mini-Cours
La dynamique est l'étude des causes du mouvement. La force est une action capable de modifier le vecteur vitesse d'un objet (donc de créer une accélération). La masse (\(m\)) est une mesure de l'inertie d'un corps, c'est-à-dire sa résistance au changement de mouvement. La deuxième loi de Newton établit la proportionnalité entre la force résultante et l'accélération, la masse étant le coefficient de proportionnalité.
Remarque Pédagogique
En mécanique, la réussite passe par la rigueur. Adoptez systématiquement la méthode en 4 points : 1. Définir le Système/Référentiel, 2. Faire le Bilan des forces, 3. Énoncer la Loi, 4. Projeter sur les axes. C'est une recette infaillible.
Normes
Il ne s'agit pas de normes de construction, mais du cadre théorique universellement accepté de la Mécanique Newtonienne. Ce cadre est valable pour les objets macroscopiques se déplaçant à des vitesses faibles devant celle de la lumière.
Formule(s)
Principe Fondamental de la Dynamique
Expression du poids
Hypothèses
Le modèle de la chute libre repose sur des hypothèses simplificatrices cruciales :
- La bille est assimilée à un point matériel (ses dimensions sont négligeables).
- Le référentiel terrestre est supposé galiléen (non accéléré).
- Les frottements de l'air sont négligés (la bille n'interagit qu'avec la Terre).
- Le champ de pesanteur \(\vec{g}\) est uniforme (constant en direction, sens et norme).
Donnée(s)
Pour cette question purement littérale, aucune valeur numérique n'est nécessaire. On manipule les grandeurs vectorielles \(\vec{P}\), \(\vec{g}\), \(\vec{a}\) et la grandeur scalaire \(m\).
Astuces
Avant de vous lancer dans la projection, vérifiez si vous pouvez simplifier l'équation vectorielle. Ici, la simplification par la masse \(m\) est évidente et montre immédiatement que l'accélération ne dépendra pas de la masse.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur la bille
Calcul(s)
Application de la deuxième loi de Newton
Simplification de l'équation vectorielle
Projection sur l'axe (Oz)
Schéma (Après les calculs)
Vecteur accélération \(\vec{a}\)
Réflexions
Le résultat \(\vec{a} = \vec{g}\) est fondamental. Il montre que l'accélération de la bille en chute libre est constante et ne dépend pas de sa masse, mais uniquement de l'astre qui l'attire (ici, la Terre). C'est le principe d'équivalence.
Points de vigilance
Ne confondez pas le vecteur \(\vec{g}\) et sa norme \(g\). L'un est un vecteur (direction, sens, norme), l'autre est un nombre positif. Attention également aux erreurs de signe lors de la projection : si l'axe avait été orienté vers le haut, on aurait eu \(a_z = -g\).
Points à retenir
- La méthodologie de résolution est la clé du succès en mécanique.
- Dans le modèle de la chute libre, l'accélération d'un objet est toujours égale au vecteur champ de pesanteur : \(\vec{a} = \vec{g}\).
- Cette accélération est indépendante de la masse et de la vitesse de l'objet.
Le saviez-vous ?
Le fait que la masse inertielle (dans \(m\vec{a}\)) et la masse grave (dans \(m\vec{g}\)) soient identiques est un postulat fondamental appelé Principe d'Équivalence. Albert Einstein en a fait le pilier de sa théorie de la relativité générale, où la gravitation n'est plus une force mais une courbure de l'espace-temps.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'accélération (en \(\text{m·s⁻²}\)) de la même bille sur Mars, où l'intensité de la pesanteur est \(g_{\text{Mars}} \approx 3,71\) \(\text{m·s⁻²}\) ? (On garde un axe Oz vers le bas).
Question 2 : Équations horaires du mouvement
Principe
L'accélération est la dérivée de la vitesse, et la vitesse est la dérivée de la position. En utilisant l'opération inverse, l'intégration, on peut "remonter" de l'accélération à la vitesse, puis à la position. Les constantes d'intégration qui apparaissent sont fixées par les conditions au début du mouvement.
Mini-Cours
En cinématique, le passage de la position à la vitesse puis à l'accélération se fait par dérivation. Le passage inverse, de l'accélération à la vitesse puis à la position, se fait par intégration (ou recherche de primitive). Chaque intégration fait apparaître une constante, dont la valeur physique dépend des conditions initiales du mouvement (position et vitesse à \(t=0\)).
Remarque Pédagogique
Soyez très attentif aux conditions initiales ! Une erreur sur \(v_0\) ou \(z_0\) faussera toutes les équations qui en découlent. C'est souvent là que se cachent les erreurs. Prenez le temps de bien lire l'énoncé : "lâchée sans vitesse initiale" (\(v_0=0\)) "depuis l'origine O" (\(z_0=0\)).
Normes
Le calcul différentiel et intégral, développé principalement par Newton et Leibniz, est le cadre mathématique standard pour décrire l'évolution des systèmes physiques continus.
Formule(s)
Définition de l'accélération et de la vitesse
Relation par intégration
Hypothèses
On se base sur le résultat de la question 1, à savoir que l'accélération \(a_z\) est constante et vaut \(g\). Les conditions initiales sont également des hypothèses sur l'état du système à \(t=0\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_z(0)\) | 0 | \(\text{m/s}\) |
| Position initiale | \(z(0)\) | 0 | \(\text{m}\) |
Astuces
Pour un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA), vous pouvez directement utiliser les formules générales du cours (\(z(t) = \frac{1}{2}at^2 + v_0t + z_0\)). Cependant, savoir les retrouver par intégration est une compétence essentielle et plus générale.
Schéma (Avant les calculs)
Modélisation du problème
Calcul(s)
Intégration de l'accélération
Détermination de la constante \(C_1\)
Intégration de la vitesse
Détermination de la constante \(C_2\)
Schéma (Après les calculs)
Graphes horaires v(t) et z(t)
Réflexions
Les équations trouvées décrivent parfaitement un MRUA. La vitesse augmente linéairement avec le temps (la bille accélère uniformément) et la distance parcourue augmente comme le carré du temps (la bille va de plus en plus vite, donc elle parcourt de plus en plus de distance chaque seconde).
Points de vigilance
N'oubliez jamais les constantes d'intégration ! Omettre C1 ou C2 est une erreur grave qui change complètement le résultat physique. Pensez toujours à utiliser les conditions initiales pour les déterminer.
Points à retenir
- Accélération constante \(\Rightarrow\) Vitesse linéaire \(\Rightarrow\) Position quadratique.
- La forme des équations horaires dépend crucialement des conditions initiales.
Le saviez-vous ?
Les équations du MRUA ont été établies bien avant Newton par Galilée, suite à ses expériences sur les plans inclinés. En "diluant" la gravité avec un plan incliné, il a pu ralentir la chute et la mesurer avec les instruments de l'époque (son propre pouls, des clepsydres...).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la bille était lâchée d'une hauteur \(h\) mais que l'origine de l'axe (toujours vers le bas) était placée au sol, quelle serait l'équation horaire de la position \(z(t)\) ?
Question 3 : Calcul de la durée de la chute
Principe
La bille atteint le sol lorsque sa position verticale \(z\) est égale à la hauteur de chute \(h\). En utilisant l'équation horaire de la position \(z(t)\) établie précédemment, on peut isoler le temps \(t_{\text{sol}}\) qui correspond à cet événement.
Mini-Cours
La résolution d'un problème de physique se termine souvent par l'exploitation des équations littérales. Il s'agit de traduire une condition physique ("atteindre le sol") en une équation mathématique (\(z(t) = h\)) pour en extraire l'inconnue recherchée (ici, \(t\)).
Remarque Pédagogique
Il est toujours préférable de résoudre l'équation littéralement d'abord (\(t_{\text{sol}} = \sqrt{2h/g}\)) avant de passer à l'application numérique. Cela permet de vérifier l'homogénéité de la formule et de comprendre l'influence de chaque paramètre sur le résultat.
Normes
Les règles de l'algèbre (manipulation d'équations du second degré) sont les outils mathématiques utilisés ici.
Formule(s)
Équation horaire de la position
Hypothèses
On suppose que le sol est bien situé à la position \(z=h\), conformément à la définition de la hauteur de chute dans notre repère.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur de chute | \(h\) | 116 | \(\text{m}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | \(\text{m·s⁻²}\) |
Astuces
Avant de calculer, faites une estimation rapide. Une chute de ~100m avec g~10 m/s². La formule est en \(\sqrt{2h/g}\) soit \(\sqrt{200/10} = \sqrt{20}\). Comme \(4^2=16\) et \(5^2=25\), le résultat doit être entre 4 et 5 secondes. Cela permet de détecter une erreur de calcul grossière.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la situation
Calcul(s)
Résolution de l'équation littérale
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Représentation de la durée de chute
Réflexions
Près de 5 secondes de chute, c'est un temps long qui confirme que la hauteur est significative. Le résultat est cohérent avec notre estimation rapide.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente ici est d'oublier le facteur 1/2 dans l'équation de la position ou de mal isoler la variable temps (oublier la racine carrée). Assurez-vous aussi que toutes les unités sont dans le Système International avant le calcul (mètres, secondes, m/s²).
Points à retenir
Pour un objet lâché sans vitesse d'une hauteur h, la durée de la chute est toujours donnée par la formule \(t = \sqrt{2h/g}\). C'est un résultat classique à connaître.
Le saviez-vous ?
Si on tenait compte de la résistance de l'air, l'accélération diminuerait au cours du temps et la vitesse tendrait vers une valeur limite appelée "vitesse terminale". La durée de la chute réelle serait donc plus longue que celle que nous avons calculée.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Combien de temps mettrait la bille pour parcourir seulement la première moitié de la distance (soit 58 m) ?
Question 4 : Calcul de la vitesse à l'impact
Principe
Maintenant que nous connaissons l'instant de l'impact (\(t_{\text{sol}}\)), il suffit d'utiliser l'équation horaire de la vitesse \(v_z(t)\) et de la calculer à cet instant précis pour trouver la vitesse finale.
Mini-Cours
La vitesse instantanée est la valeur de la fonction vitesse à un instant t donné. En connaissant la loi d'évolution de la vitesse \(v(t)\), on peut déterminer la vitesse de l'objet à n'importe quel moment de sa trajectoire, et donc lors d'événements particuliers comme l'impact au sol.
Remarque Pédagogique
Attention aux conversions d'unités ! Le calcul donne un résultat en m/s (l'unité du SI), mais la question demande aussi une conversion en km/h, plus parlante pour la vie de tous les jours. Maîtriser le facteur 3,6 est indispensable.
Normes
Les unités du Système International (mètre, seconde, kilogramme...) sont la norme en sciences pour garantir la cohérence des calculs et la communication universelle des résultats.
Formule(s)
Équation horaire de la vitesse
Hypothèses
On utilise la durée de chute \(t_{\text{sol}}\) calculée à la question 3, ce qui implique que toutes les hypothèses de la chute libre sont toujours valables jusqu'à l'instant juste avant l'impact.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Durée de la chute | \(t_{\text{sol}}\) | 4,86 | \(\text{s}\) |
| Intensité de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | \(\text{m·s⁻²}\) |
Astuces
Il existe une autre formule, indépendante du temps, qui peut être utile pour vérifier : \(v_f^2 - v_i^2 = 2 \cdot a \cdot \Delta z\). Ici, \(v_{\text{sol}}^2 - 0^2 = 2 \cdot g \cdot h\), donc \(v_{\text{sol}} = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 116} \approx 47.68\) m/s. Retrouver le même résultat par un autre chemin est une excellente façon de valider son calcul !
Schéma (Avant les calculs)
Vecteur vitesse à l'impact
Calcul(s)
Calcul de la vitesse en \(\text{m/s}\)
Conversion en \(\text{km/h}\)
Schéma (Après les calculs)
Vecteur vitesse à l'impact (avec valeur)
Réflexions
Une vitesse de plus de 170 km/h est considérable et illustre à quel point la gravité peut accélérer les objets sur de longues distances, même en partant de zéro. Cela souligne aussi l'importance de l'hypothèse de négliger les frottements de l'air, qui deviendraient très importants à une telle vitesse dans la réalité.
Points de vigilance
Faites attention à ne pas utiliser une valeur arrondie de \(t_{\text{sol}}\) pour le calcul de la vitesse si une grande précision est demandée. Idéalement, utilisez l'expression littérale : \(v_{\text{sol}} = g \cdot \sqrt{2h/g} = \sqrt{2gh}\).
Points à retenir
La vitesse d'impact en chute libre depuis une hauteur h sans vitesse initiale est \(v = \sqrt{2gh}\). Cette relation énergie-vitesse est très utile (elle découle de la conservation de l'énergie mécanique).
Le saviez-vous ?
Le record du monde de vitesse en chute libre est détenu par Alan Eustace, qui a atteint 1321 km/h (plus vite que le son !) lors d'un saut depuis la stratosphère en 2014. À cette altitude, l'air est si peu dense que les frottements sont quasi-inexistants au début du saut.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la vitesse d'impact si on lâchait la bille de la même hauteur sur la Lune (\(g_{\text{Lune}} \approx 1,62 \text{ m·s⁻²}\)) ?
Question 5 : Influence de la masse
Principe
Cette question est conceptuelle. Il faut revenir aux équations littérales que nous avons établies pour la durée de la chute et observer si le paramètre "masse" (\(m\)) y figure.
Mini-Cours
Le principe d'équivalence postule l'égalité entre la masse inertielle (résistance au changement de mouvement, \(m\) dans \(m\vec{a}\)) et la masse grave (source du champ de gravitation, \(m\) dans \(m\vec{g}\)). C'est à cause de cette égalité fondamentale que la masse se simplifie dans l'équation du mouvement et que la trajectoire d'un corps dans un champ de gravité ne dépend pas de sa masse.
Remarque Pédagogique
C'est une excellente question pour tester votre compréhension physique au-delà des calculs. Une bonne réponse ne se contente pas de dire "m n'est pas dans la formule", mais explique pourquoi, en revenant à la simplification faite dans la première question.
Normes
Le principe d'équivalence est un des piliers de la physique moderne, testé expérimentalement avec une précision extrême (mission MICROSCOPE).
Formule(s)
Formule de la durée de chute
Hypothèses
Cette conclusion n'est valable que dans le cadre de l'hypothèse de la chute libre, c'est-à-dire en l'absence de frottements. Dans la réalité, la résistance de l'air dépend de la forme et de la taille de l'objet, et pour deux objets de même forme, celui qui a la plus grande masse sera moins affecté par les frottements.
Donnée(s)
Aucune donnée numérique n'est requise. C'est une question de raisonnement littéral.
Astuces
Imaginez l'expérience : si vous lâchez une boule de pétanque et une balle de tennis de la même hauteur, elles n'arrivent pas exactement en même temps. La boule de pétanque arrive un peu avant. Pourquoi ? Car pour elle, les frottements de l'air sont bien plus négligeables par rapport à son poids. Notre modèle de chute libre s'applique donc mieux à la boule de pétanque.
Schéma (Avant les calculs)
Chute de deux corps de masses différentes
Calcul(s)
Raisonnement sur l'accélération
L'accélération ne dépendant pas de \(m\), toutes les grandeurs qui en découlent (vitesse, position, durée de chute) seront également indépendantes de \(m\).
Schéma (Après les calculs)
Chute simultanée de deux corps de masses différentes
Réflexions
Dans notre modèle idéal, la masse n'a aucun effet. C'est une conséquence directe de l'égalité masse grave/masse inerte. C'est l'un des résultats les plus contre-intuitifs mais aussi les plus profonds de la physique classique.
Points de vigilance
Ne pas confondre le modèle idéal de la physique avec la réalité de tous les jours. Votre intuition vous dit qu'une plume tombe moins vite qu'un marteau, et elle a raison... dans l'air ! Il est crucial de toujours garder à l'esprit les hypothèses d'un modèle.
Points à retenir
Dans le vide (ou quand les frottements sont négligeables), tous les corps chutent à la même vitesse, quelle que soit leur masse, leur forme ou leur composition.
Le saviez-vous ?
C'est précisément ce que Galilée aurait démontré au XVIe siècle avec sa célèbre expérience (probablement apocryphe) du haut de la tour de Pise. Il a compris qu'en l'absence de frottement de l'air, tous les corps chutent avec la même accélération. L'astronaute David Scott a réalisé une démonstration spectaculaire de ce principe sur la Lune en 1971, en lâchant un marteau et une plume qui ont touché le sol lunaire (dépourvu d'atmosphère) exactement en même temps.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'on refait l'expérience dans l'air avec une bille de polystyrène de même taille mais de masse beaucoup plus faible, tombera-t-elle en plus de temps, moins de temps, ou le même temps que la bille d'acier ?
Outil Interactif : Explorez la Chute Libre
Utilisez les curseurs pour modifier la hauteur de chute et l'intensité de la pesanteur (pour simuler une chute sur une autre planète !). Observez comment la durée de la chute et la vitesse d'impact sont affectées.
Paramètres de la Simulation
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qui caractérise un mouvement de chute libre ?
2. En chute libre, si on double la hauteur de chute, la durée de la chute est...
3. Deux objets de masses différentes (1 kg et 10 kg) sont lâchés de la même hauteur. Lequel touche le sol en premier (en négligeant les frottements) ?
4. Comment évolue la vitesse d'un objet en chute libre (lâché sans vitesse initiale) ?
5. Sur la Lune, où la gravité est environ 6 fois plus faible que sur Terre, la durée d'une même chute serait...
- Chute libre
- Mouvement d'un corps soumis uniquement à l'action de son poids. Toutes les autres forces, comme la résistance de l'air, sont considérées comme négligeables.
- Référentiel galiléen
- Un référentiel d'étude dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour des expériences de courte durée.
- Équations horaires
- Relations mathématiques qui décrivent l'évolution de la position, de la vitesse et de l'accélération d'un point en fonction du temps.
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