Effets de la Relativité sur le Temps et l’Espace

Effets de la Relativité sur le Temps et l’Espace

Comprendre les Effets de la Relativité sur le Temps et l’Espace

Un vaisseau spatial se déplace à une vitesse très élevée par rapport à la Terre. Pour cet exercice, nous allons explorer les effets de la relativité restreinte, notamment la dilatation du temps et la contraction de la longueur, sur des mesures effectuées par un observateur terrestre et un observateur à bord du vaisseau.

Données:

  • Le vaisseau spatial se déplace à une vitesse \(v = 0.8c\), où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide.
  • La longueur propre du vaisseau (la longueur mesurée dans le référentiel où le vaisseau est au repos) est de 100 mètres.

Questions :

  1. Contraction de la longueur :
    • Calculez la longueur du vaisseau spatial telle que mesurée par un observateur sur Terre.
  2. Dilatation du temps :
    • Supposons qu’une horloge à bord du vaisseau spatial mesure 1 heure entre deux événements. Combien de temps s’écoule entre ces événements selon un observateur sur Terre?
  3. Discussion :

    Discutez de l’impact de ces phénomènes si le vaisseau se déplaçait à une vitesse encore plus proche de celle de la lumière, par exemple \(v = 0.99c\). Quels changements notables pourraient être observés dans les résultats de la contraction de la longueur et de la dilatation du temps?

Correction : Effets de la Relativité sur le Temps et l’Espace

1. Contraction de la longueur

Pour calculer la contraction de la longueur du vaisseau spatial telle que mesurée par un observateur sur Terre, nous utilisons la formule de contraction de Lorentz:

\[ L = L_0 \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} \]

où :

  • \(L_0 = 100\, \text{m}\) est la longueur propre du vaisseau.
  • \(v = 0.8c\) est la vitesse du vaisseau.

En substituant les valeurs dans la formule, nous obtenons:

\[ L = 100 \times \sqrt{1 – (0.8c)^2 / c^2} \] \[ L = 100 \times \sqrt{1 – 0.64} \] \[ L = 100 \times 0.6 \] \[ L = 60\, \text{m} \]

La longueur du vaisseau spatial mesurée par un observateur sur Terre est de 60 mètres.

2. Dilatation du temps

Pour déterminer combien de temps s’écoule entre deux événements mesurés depuis la Terre, lorsque l’horloge à bord du vaisseau indique 1 heure, nous appliquons la formule de dilatation du temps:

\[ \Delta t = \frac{\Delta \tau}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} \]

où :

  • \(\Delta \tau = 1\, \text{heure}\) est le temps propre (le temps mesuré à bord du vaisseau).

En substituant les valeurs, nous obtenons:

\[ \Delta t = \frac{1}{\sqrt{1 – 0.64}} \] \[ \Delta t = \frac{1}{0.6} \approx 1.67\, \text{heures} \]

Selon un observateur sur Terre, 1.67 heures s’écoulent entre ces deux événements.

3. Discussion

Si la vitesse du vaisseau augmente encore, par exemple à \(v = 0.99c\), les phénomènes de contraction de la longueur et de dilatation du temps deviennent plus prononcés.

La longueur du vaisseau serait encore plus contractée, et la durée observée sur Terre pour les événements mesurés à bord serait encore plus allongée.

Ces effets illustrent comment les vitesses relativistes modifient notre perception de l’espace et du temps.

Effets de la Relativité sur le Temps et l’Espace

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