Étude du Mouvement sur Plan Incliné
Contexte : Le principe fondamental de la dynamique.
L'étude du mouvement d'un objet sur un plan incliné est un cas d'école en mécanique newtonienne. Elle permet de mobiliser des compétences essentielles comme le bilan des forces, leur projection sur un système d'axes adapté et l'application de la deuxième loi de Newton. Cet exercice analyse une situation réaliste en incluant les frottements cinétiquesForce qui s'oppose au mouvement de glissement entre deux surfaces en contact. Sa valeur est proportionnelle à la réaction normale du support., qui s'opposent au mouvement.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de dynamique en étapes logiques : identifier les forces, appliquer les lois de Newton dans un repère judicieusement choisi, puis utiliser les équations de la cinématique pour décrire le mouvement.
Objectifs Pédagogiques
- Effectuer un bilan des forces et les représenter sur un schéma.
- Projeter des vecteurs forces sur un système d'axes cartésiens.
- Appliquer la deuxième loi de Newton pour déterminer une accélération.
- Utiliser les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Données de l'étude
Schéma de la situation
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de la caisse | \(m\) | 10 | kg |
| Angle d'inclinaison | \(\alpha\) | 30 | degrés |
| Coefficient de frottement cinétique | \(\mu_c\) | 0,20 | (sans unité) |
| Distance de glissement | \(d\) | 5,0 | m |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | m/s² |
Questions à traiter
- Faire le bilan des forces s'exerçant sur la caisse et les représenter sur un schéma.
- Calculer la valeur de la réaction normale du support.
- Calculer la valeur de la force de frottement.
- En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer l'accélération de la caisse.
- Calculer le temps mis par la caisse pour parcourir la distance \(d\).
- Calculer la vitesse de la caisse en bas du plan incliné.
Les bases de la Dynamique Newtonienne
Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de quelques outils fondamentaux de la mécanique classique.
1. Deuxième Loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique)
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par son vecteur accélération.
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \]
2. Force de Frottement Cinétique
Lorsqu'un objet glisse sur une surface, celle-ci exerce une force de frottement \(\vec{f}_c\) qui s'oppose au mouvement. Sa norme est proportionnelle à la norme de la réaction normale \(\vec{N}\) du support.
\[ f_c = \mu_c \cdot N \]
3. Équations du Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
Si un objet a une accélération constante \(a\), sa vitesse \(v(t)\) et sa position \(x(t)\) au temps \(t\) sont données par (avec \(v_0\) et \(x_0\) la vitesse et position initiales) :
\[ v(t) = a \cdot t + v_0 \]
\[ x(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0 \]
Correction : Étude du Mouvement sur Plan Incliné
Question 1 : Bilan et représentation des forces
Principe
La première étape de tout problème de dynamique est d'identifier toutes les forces qui agissent sur le système étudié. Une force modélise une interaction (de contact ou à distance) entre le système et son environnement. Isoler le système et lister exhaustivement ces interactions est la clé de la réussite.
Mini-Cours
Les forces agissant sur la caisse sont :
- Le poids \(\vec{P}\) : C'est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur la caisse. Elle est toujours verticale, dirigée vers le bas. Son point d'application est le centre de gravité de la caisse.
- La réaction normale \(\vec{N}\) : C'est la force de contact exercée par le plan incliné sur la caisse. Elle empêche la caisse de traverser le support. Elle est toujours perpendiculaire (normale) à la surface de contact et dirigée vers l'extérieur du support.
- La force de frottement cinétique \(\vec{f}_c\) : C'est la force de contact qui s'oppose au glissement de la caisse sur le plan. Elle est toujours parallèle à la surface de contact et dirigée dans le sens opposé au mouvement.
Remarque Pédagogique
La représentation de ces forces sur un schéma, appelé "diagramme de corps libre", est une étape non négociable. Il permet de visualiser le problème et sert de base pour la projection des forces. Prenez l'habitude de le faire proprement, même pour les problèmes simples.
Normes
En mécanique, la "norme" ou la convention est de modéliser les forces par des vecteurs. Un vecteur possède un point d'application, une direction, un sens et une norme (son intensité). Le respect de ces quatre caractéristiques est essentiel pour une représentation correcte.
Formule(s)
À ce stade, il n'y a pas de calcul de norme à effectuer, mais on pose le fondement vectoriel du Principe Fondamental de la Dynamique qui sera utilisé dans les questions suivantes :
Hypothèses
Pour ce bilan, les hypothèses simplificatrices sont :
- La caisse est modélisée comme un point matériel. Toutes les forces sont donc appliquées en un seul point (son centre de gravité).
- La résistance de l'air est négligée face aux autres forces en jeu.
Astuces
Une erreur fréquente est de dessiner le poids incliné. Rappelez-vous : le poids est TOUJOURS vertical, quelle que soit l'orientation du support. C'est la force qui nous attire vers le centre de la Terre.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma demandé est le diagramme de corps libre, qui représente la caisse et toutes les forces qui s'exercent sur elle. C'est le point de départ de notre analyse.
Diagramme de corps libre de la caisse
Réflexions
L'observation de ce diagramme montre que les forces ne sont pas colinéaires. Le poids est vertical, la réaction normale est inclinée, et le frottement est incliné dans une autre direction. Cette configuration non-alignée nous impose de devoir projeter ces forces sur un système d'axes pour pouvoir les additionner et appliquer la deuxième loi de Newton.
Schéma (Après les calculs)
Comme cette question ne comporte pas de calculs, le schéma final est le même que le schéma initial. Il représente la conclusion qualitative de notre analyse : l'identification et la représentation correcte des trois forces en jeu.
Diagramme de corps libre finalisé
Points de vigilance
Les erreurs classiques à éviter sur ce type de schéma sont :
- Dessiner le poids \(\vec{P}\) perpendiculaire au plan. Il est toujours vertical.
- Dessiner la réaction normale \(\vec{N}\) verticalement. Elle est toujours perpendiculaire au support.
- Dessiner la force de frottement \(\vec{f}_c\) dans le sens du mouvement. Elle s'y oppose toujours.
Points à retenir
Pour un objet glissant sur un plan incliné avec frottement, il y a toujours trois forces à considérer :
- Le poids (\(\vec{P}\)), vertical vers le bas.
- La réaction normale (\(\vec{N}\)), perpendiculaire au plan.
- La force de frottement (\(\vec{f}\)), parallèle au plan et opposée au mouvement.
Le saviez-vous ?
Le concept de "force" tel que nous l'utilisons a été formalisé par Isaac Newton dans ses "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica" en 1687. Avant lui, la compréhension du mouvement était dominée par les idées d'Aristote, qui pensait qu'un mouvement nécessitait constamment une force pour le maintenir, une idée que l'on sait fausse aujourd'hui grâce au principe d'inertie.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
Question 2 : Calcul de la valeur de la réaction normale
Principe
La caisse ne s'enfonce pas dans le plan ni ne décolle. Son mouvement est parallèle au plan. Cela implique que l'accélération selon l'axe perpendiculaire au plan est nulle. La somme des composantes des forces sur cet axe est donc nulle.
Mini-Cours
La réaction normale \(\vec{N}\) est une des composantes de la force de contact totale exercée par le support. Elle est toujours perpendiculaire à la surface de contact. L'autre composante est la force de frottement, qui est parallèle. L'équilibre selon l'axe normal au mouvement est une condition nécessaire dans la quasi-totalité des problèmes de dynamique avec un support.
Remarque Pédagogique
Le choix d'un système d'axes "intelligent" est crucial. En inclinant le repère pour que l'axe des abscisses suive la pente, on simplifie énormément le problème : le vecteur mouvement n'a qu'une seule composante (selon \(\vec{i}\)) et la réaction normale aussi (selon \(\vec{j}\)). Seul le poids doit alors être projeté.
Normes
En physique fondamentale, les "normes" sont les grandes lois et principes, comme les lois de Newton. Il n'y a pas de code réglementaire ici, mais l'application rigoureuse du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) est la règle absolue.
Formule(s)
Projection de la 2ème loi de Newton sur l'axe \((O, \vec{j})\) (normal au plan) :
Expression de la réaction normale :
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le plan incliné est parfaitement rigide et ne se déforme pas sous le poids de la caisse.
- Le contact entre la caisse et le plan est ponctuel (ou la pression est uniformément répartie).
Donnée(s)
Les données nécessaires pour cette question sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 10 | \(\text{kg}\) |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9,81 | \(\text{m/s}^2\) |
| Angle d'inclinaison | \(\alpha\) | 30 | \(\text{degrés}\) |
Astuces
Le calcul de la réaction normale \(N\) est souvent la première étape après le bilan des forces, car sa valeur est indispensable pour calculer la force de frottement à la question suivante. C'est un passage obligé.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma ci-dessous illustre la projection du vecteur poids sur les axes de travail. La composante qui nous intéresse ici est \(P_y\), la projection sur l'axe normal.
Projection du Poids
Calcul(s)
Calcul de la réaction normale :
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme de corps libre est mis à jour avec la valeur calculée de la réaction normale.
Diagramme de corps libre avec valeur de N
Réflexions
La réaction normale (85,0 N) est inférieure au poids de la caisse (98,1 N). C'est logique : le support ne "porte" qu'une partie du poids, l'autre partie étant responsable de la mise en mouvement le long de la pente. Si le plan était horizontal (\(\alpha=0^\circ\)), \(N\) serait égale à \(P\). Si le plan était vertical (\(\alpha=90^\circ\)), \(N\) serait nulle.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de confondre le sinus et le cosinus. Retenez que pour un angle \(\alpha\) avec l'horizontale, la composante normale (perpendiculaire) au plan est toujours en \(P \cos(\alpha)\) et la composante tangentielle (parallèle) en \(P \sin(\alpha)\).
Points à retenir
La réaction normale n'est pas toujours égale au poids ! Elle dépend de l'inclinaison du support et d'éventuelles autres forces verticales. Sa détermination correcte est cruciale pour l'étude des frottements.
Le saviez-vous ?
La force normale est une manifestation de la force de répulsion électromagnétique entre les atomes de la surface du support et ceux de l'objet. C'est cette force qui, à l'échelle microscopique, empêche la matière de s'interpénétrer.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la valeur de la réaction normale si l'angle était de 45° ? (g = 9,81 m/s², m = 10 kg)
Question 3 : Calcul de la force de frottement
Principe
La force de frottement cinétique est une force qui s'oppose au glissement d'un objet sur une surface. Son intensité dépend de la nature des surfaces en contact (via le coefficient \(\mu_c\)) et de l'intensité avec laquelle les surfaces sont pressées l'une contre l'autre (via la réaction normale \(N\)).
Mini-Cours
Il existe deux types de frottements solides : statique et cinétique. Le frottement statique empêche le mouvement de commencer, tandis que le frottement cinétique (ou dynamique) freine un mouvement déjà existant. Le coefficient de frottement statique (\(\mu_s\)) est généralement supérieur au coefficient cinétique (\(\mu_c\)). Dans cet exercice, comme la caisse glisse, nous utilisons \(\mu_c\).
Remarque Pédagogique
Rappelez-vous que la force de frottement est toujours orientée dans le sens opposé au vecteur vitesse (ou à la tendance au mouvement). C'est une force "dissipative" qui convertit l'énergie mécanique en chaleur.
Normes
Le modèle utilisé, \(f = \mu \cdot N\), est une loi physique empirique connue sous le nom de loi de Coulomb-Amontons. Ce n'est pas une loi fondamentale comme le PFD, mais une excellente approximation pour de nombreuses situations d'ingénierie courantes.
Formule(s)
Loi de Coulomb pour le frottement cinétique :
Hypothèses
Nous supposons que :
- Le coefficient de frottement cinétique \(\mu_c\) est constant sur toute la surface et ne dépend ni de la vitesse de glissement ni de l'aire de contact.
- La transition entre le repos et le mouvement se fait instantanément.
Donnée(s)
Les données d'entrée pour ce calcul sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient de frottement cinétique | \(\mu_c\) | 0,20 | (sans unité) |
| Réaction normale | \(N\) | 84,96 | \(\text{N}\) |
Astuces
Le coefficient \(\mu_c\) est typiquement compris entre 0 et 1 pour la plupart des matériaux courants. Une valeur calculée de la force de frottement qui serait supérieure à la composante motrice du poids (\(P \sin(\alpha)\)) indiquerait que l'objet ne devrait pas accélérer, voire pas bouger du tout (si on comparait à \(\mu_s\)).
Schéma (Avant les calculs)
Le diagramme de corps libre de la question 1 montre déjà clairement le vecteur \(\vec{f}_c\) opposé au mouvement descendant.
Rappel : Bilan des forces
Calcul(s)
Calcul de la force de frottement :
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme de corps libre est mis à jour avec la valeur calculée de la force de frottement.
Diagramme de corps libre avec valeur de f
Réflexions
La force de frottement de 17,0 N s'oppose à la composante du poids qui tire la caisse vers le bas, qui vaut \(P \sin(\alpha) = 98,1 \times \sin(30^\circ) = 49,05\) N. Comme la force motrice est supérieure à la force de frottement, la caisse va bien accélérer vers le bas.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien utiliser la réaction normale \(N\) et non le poids \(P\) pour calculer la force de frottement. C'est une erreur très fréquente. La formule est \(f_c = \mu_c \cdot N\), et non \(\mu_c \cdot P\).
Points à retenir
La force de frottement est une force de contact qui dépend de la force pressante (la réaction normale) et de l'état des surfaces (le coefficient \(\mu_c\)). Elle est indépendante de la vitesse et de l'aire de contact dans ce modèle.
Le saviez-vous ?
Léonard de Vinci fut l'un des premiers à étudier systématiquement le frottement vers 1493. Il avait déjà noté que la force de frottement était proportionnelle à la charge et indépendante de l'aire de contact, des observations redécouvertes bien plus tard par Guillaume Amontons.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la force de frottement si le coefficient \(\mu_c\) était de 0,50 (en gardant \(N=85,0\) N) ?
Question 4 : Détermination de l'accélération
Principe
L'accélération de la caisse est provoquée par la force résultante qui agit sur elle le long de l'axe du mouvement. On applique la deuxième loi de Newton projetée sur cet axe.
Mini-Cours
La deuxième loi de Newton est un principe vectoriel (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)). Pour la résoudre, on la projette sur les axes d'un repère. Chaque projection donne une équation scalaire. La projection sur l'axe du mouvement nous donnera l'accélération, tandis que la projection sur l'axe normal nous a donné la réaction normale.
Remarque Pédagogique
C'est ici que tout le travail préparatoire (bilan des forces, choix du repère, projections) prend son sens. Une fois que la somme des forces sur l'axe du mouvement est correctement écrite, le calcul de l'accélération devient une simple application numérique.
Normes
La deuxième loi de Newton est la norme fondamentale de la dynamique du point matériel.
Formule(s)
Projection de la 2ème loi de Newton sur l'axe \((O, \vec{i})\) (parallèle au mouvement) :
Expression de l'accélération :
Hypothèses
Nous utilisons les hypothèses suivantes :
- La masse \(m\) de la caisse est constante pendant le mouvement.
- Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen (une approximation suffisante pour cet exercice).
Donnée(s)
Les valeurs numériques nécessaires :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 10 | \(\text{kg}\) |
| Angle | \(\alpha\) | 30 | \(\text{degrés}\) |
| Force de frottement | \(f_c\) | 16,99 | \(\text{N}\) |
| Pesanteur | \(g\) | 9,81 | \(\text{m/s}^2\) |
Astuces
Plutôt que d'utiliser la valeur numérique de \(f_c\), on peut la remplacer par son expression \(\mu_c N = \mu_c m g \cos(\alpha)\). La formule de l'accélération devient \(a = \frac{mg \sin(\alpha) - \mu_c mg \cos(\alpha)}{m}\). On voit que la masse \(m\) se simplifie ! L'accélération devient \(a = g(\sin(\alpha) - \mu_c \cos(\alpha))\), indépendante de la masse. C'est un résultat important.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma important est celui qui montre la décomposition du poids en ses deux composantes : une parallèle à la pente (\(P_x\)) et une perpendiculaire (\(P_y\)). La force motrice est \(P_x\).
Composantes du Poids
Calcul(s)
Calcul de l'accélération :
Schéma (Après les calculs)
L'accélération est un vecteur dirigé le long de la pente, dans le sens du mouvement.
Vecteur Accélération
Réflexions
Une accélération de 3,21 m/s² signifie que chaque seconde, la vitesse de la caisse augmente de 3,21 m/s (soit environ 11,5 km/h). Cette valeur est inférieure à l'accélération de la pesanteur \(g\) (9,81 m/s²), ce qui est normal à cause de l'inclinaison et des frottements qui "retiennent" l'objet.
Points de vigilance
La principale source d'erreur est le signe des forces projetées. La composante du poids \(P_x\) est motrice (positive dans notre repère), tandis que la force de frottement \(f_c\) est résistante (négative). Une inversion des signes mènera à un résultat erroné.
Points à retenir
L'accélération est le résultat de la compétition entre les forces motrices (ici, la composante tangentielle du poids) et les forces résistantes (ici, les frottements). C'est la force résultante non nulle qui crée l'accélération.
Le saviez-vous ?
C'est en faisant rouler des billes sur des plans inclinés (pour "diluer" la gravité et ralentir la chute) que Galilée a pu mesurer le temps et la distance pour établir les lois du mouvement uniformément accéléré, jetant ainsi les bases de la mécanique moderne, avant même Newton.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'accélération si l'angle était de 20° et \(\mu_c\) de 0,30. (g = 9,81 m/s²)
Question 5 : Calcul du temps de parcours
Principe
Le mouvement de la caisse se fait à accélération constante. Il s'agit donc d'un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA). On peut utiliser les équations de la cinématique qui décrivent ce type de mouvement pour relier la distance parcourue, le temps, la vitesse et l'accélération.
Mini-Cours
Les équations de la cinématique pour le MRUA sont issues de l'intégration successive de l'accélération. Si \(a(t) = a = \text{cste}\), alors \(v(t) = \int a dt = at + v_0\), et \(x(t) = \int v(t) dt = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0\). La maîtrise de ces deux formules permet de résoudre la plupart des problèmes de cinématique simple.
Remarque Pédagogique
Il faut bien identifier les conditions initiales du problème. Ici, "lâchée sans vitesse initiale" signifie que la vitesse au temps \(t=0\) est nulle (\(v_0=0\)). On peut aussi poser l'origine du repère au point de départ, ce qui annule la position initiale (\(x_0=0\)).
Normes
Ces équations cinématiques sont des conséquences mathématiques directes des définitions de la vitesse et de l'accélération en analyse vectorielle. Elles sont universelles et ne dépendent d'aucune norme d'ingénierie.
Formule(s)
L'équation horaire de la position est \(x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0\). Avec les conditions initiales \(x_0 = 0\) et \(v_0 = 0\), et en posant \(x(t)=d\), on obtient \(d = \frac{1}{2} a t^2\). On isole le temps \(t\) :
Hypothèses
La principale hypothèse est que l'accélération calculée à la question 4 reste constante tout au long des 5 mètres de la descente. Cela suppose que ni l'angle, ni le coefficient de frottement ne varient.
Donnée(s)
Les données requises pour ce calcul :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance de glissement | \(d\) | 5,0 | \(\text{m}\) |
| Accélération | \(a\) | 3,21 | \(\text{m/s}^2\) |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 0 | \(\text{m/s}\) |
Astuces
Faites une analyse dimensionnelle rapide pour vérifier votre formule. Sous la racine, on a des \([\text{m}] / [\text{m/s}^2] = [\text{s}^2]\). La racine de \([\text{s}^2]\) donne bien des secondes \([\text{s}]\), l'unité du temps. C'est un bon moyen de déceler une erreur de formule.
Schéma (Avant les calculs)
On peut modéliser le parcours comme un simple segment de droite, du point de départ au point d'arrivée.
Trajectoire du mouvement
Calcul(s)
Calcul du temps de parcours :
Schéma (Après les calculs)
La trajectoire est la même, mais annotée avec le temps final calculé.
Trajectoire avec temps final
Réflexions
Un temps de 1,77 s pour parcourir 5 m semble cohérent. C'est une chute assez rapide. Si le frottement était nul (\(a=4,905\) m/s²), le temps serait de \(\sqrt{10/4,905} \approx 1,43\) s. Le frottement a donc ralenti la descente, ce qui est logique.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier le facteur 2 ou la racine carrée dans la formule. C'est une erreur d'inattention classique. Vérifiez aussi que vous utilisez bien l'accélération et non une force ou une vitesse dans la formule.
Points à retenir
Pour un départ arrêté (\(v_0=0\)), la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps (\(d \propto t^2\)). Cela signifie que pour doubler le temps de chute, il faut multiplier la distance par quatre.
Le saviez-vous ?
La trajectoire la plus rapide pour descendre d'un point A à un point B plus bas n'est pas la ligne droite (le plan incliné), mais une courbe appelée "brachistochrone", qui a la forme d'un arc de cycloïde. C'est un célèbre problème résolu notamment par Newton et les frères Bernoulli.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Combien de temps faudrait-il pour parcourir 10 m avec la même accélération de 3,21 m/s² ?
Question 6 : Calcul de la vitesse finale
Principe
Comme pour la question précédente, on utilise les équations du Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA). La vitesse évolue linéairement avec le temps, partant d'une valeur nulle et augmentant à un taux constant (l'accélération).
Mini-Cours
En cinématique, il est souvent utile de connaître la relation qui lie la vitesse à la distance parcourue, sans faire intervenir le temps. En combinant \(v=at\) (avec \(v_0=0\)) et \(d=\frac{1}{2}at^2\), on peut éliminer \(t\) pour obtenir \(v_f^2 = 2ad\). Cette formule est très pratique car elle permet de calculer la vitesse finale sans avoir besoin de calculer le temps de parcours.
Remarque Pédagogique
Utiliser la relation indépendante du temps (\(v_f^2 = 2ad\)) est souvent une bonne stratégie de vérification, ou même de calcul principal. Elle utilise directement l'accélération (Q4) et la distance (donnée), sans passer par le temps (Q5). Cela évite de propager une éventuelle erreur de calcul commise sur le temps.
Normes
Comme pour la question 5, ces relations sont des équations fondamentales de la cinématique et ne relèvent pas de normes spécifiques.
Formule(s)
Formule avec le temps :
Formule indépendante du temps :
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 5 : l'accélération est considérée comme constante sur toute la distance \(d\).
Donnée(s)
Les données que l'on peut utiliser :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Accélération | \(a\) | 3,21 | \(\text{m/s}^2\) |
| Temps de parcours | \(t\) | 1,765 | \(\text{s}\) |
| Distance de glissement | \(d\) | 5,0 | \(\text{m}\) |
Astuces
Toujours effectuer le calcul avec les deux méthodes si possible. Si vous obtenez le même résultat, vous pouvez être très confiant dans vos calculs des trois dernières questions. C'est une excellente technique d'auto-correction.
Schéma (Avant les calculs)
La trajectoire est la même, mais l'inconnue est maintenant la vitesse au point final, représentée par un vecteur vitesse.
Vitesse Finale
Calcul(s)
Calcul de la vitesse finale :
Schéma (Après les calculs)
La trajectoire est annotée avec le vecteur vitesse finale et sa valeur calculée.
Trajectoire avec Vitesse Finale
Réflexions
Une vitesse finale de 5,67 m/s équivaut à environ 20,4 km/h. C'est une vitesse significative, comparable à celle d'un bon coureur. L'énergie potentielle gravitationnelle de la caisse en haut du plan a été convertie en énergie cinétique et en chaleur (à cause du frottement).
Points de vigilance
Faites attention aux unités. Si la vitesse est demandée en km/h, n'oubliez pas la conversion (multiplier les m/s par 3,6). Attention aussi à ne pas oublier la racine carrée dans la formule \(v_f = \sqrt{2ad}\).
Points à retenir
Pour un MRUA partant du repos, la vitesse est directement proportionnelle au temps (\(v \propto t\)) et à la racine carrée de la distance (\(v \propto \sqrt{d}\)).
Le saviez-vous ?
Le concept d'énergie cinétique (\(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)) a été développé par Émilie du Châtelet, une mathématicienne et physicienne française du 18ème siècle. Elle a corrigé Newton en montrant que l'énergie d'un objet en mouvement était proportionnelle au carré de sa vitesse, et non à la vitesse elle-même, une idée alors révolutionnaire.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la vitesse finale si la distance était de 10 m (avec \(a=3,21\) m/s²) ?
Outil Interactif : Simulateur de Descente
Utilisez cet outil pour observer comment l'inclinaison de la rampe et le coefficient de frottement influencent l'accélération de la caisse et sa vitesse finale après 5 mètres de glisse.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente l'angle d'inclinaison \(\alpha\) du plan, que devient la réaction normale \(N\) ?
2. De quoi dépend la force de frottement cinétique ?
3. Si le coefficient de frottement était nul (\(\mu_c=0\)), quelle serait l'accélération ?
4. Quelle est l'unité du coefficient de frottement cinétique \(\mu_c\) ?
5. D'après la deuxième loi de Newton, si on double la force résultante sur la caisse (en gardant la masse constante), son accélération...
Glossaire
- Principe Fondamental de la Dynamique
- Aussi appelé deuxième loi de Newton, il énonce que l'accélération d'un objet est proportionnelle à la somme des forces qui s'exercent sur lui.
- Frottement Cinétique
- Force qui s'oppose au mouvement relatif entre deux surfaces en contact. Elle est présente lorsque les objets sont en train de glisser l'un sur l'autre.
- Réaction Normale
- Composante de la force de contact exercée par une surface sur un objet, qui est perpendiculaire à cette surface. Elle empêche l'objet de passer à travers la surface.
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