Étude du Mouvement sur Plan Incliné

Étude du Mouvement sur Plan Incliné

Comprendre l’Étude du Mouvement sur Plan Incliné

Une caisse de masse \(m = 50\, \text{kg}\) est posée sur un plan incliné faisant un angle \(\theta = 30^\circ\) avec l’horizontale.

Le coefficient de frottement statique entre la caisse et le plan incliné est \(\mu_s = 0.3\) et le coefficient de frottement cinétique est \(\mu_k = 0.25\).

Questions

  1. Déterminer si la caisse va glisser.
    • Calculez la force gravitationnelle parallèle au plan incliné agissant sur la caisse.
    • Déterminez la force de frottement statique maximale pouvant agir sur la caisse.
    • Concluez si la force gravitationnelle parallèle suffit pour vaincre le frottement statique.
  2. Calcul de l’accélération si la caisse glisse.
    • Si la caisse commence à glisser, calculez l’accélération de la caisse en utilisant la loi de Newton.
  3. Détermination de la vitesse de la caisse après avoir parcouru sur le plan incliné.
    • En supposant que la caisse part du repos, utilisez l’équation du mouvement pour trouver sa vitesse après avoir parcouru cette distance.

Données à utiliser:

  • Gravité (\(g\)) = \(9.81\, \text{m/s}^2\)
  • Masse (\(m\)) = \(50\, \text{kg}\)
  • Angle (\(\theta\)) = \(30^\circ\)
  • Coefficient de frottement statique (\(\mu_s\)) = \(0.3\)
  • Coefficient de frottement cinétique (\(\mu_k\)) = \(0.25\)
  • Distance parcourue (\(d\)) = \(5\, \text{m}\)

Correction : Étude du Mouvement sur Plan Incliné

1. Déterminer si la caisse va glisser

Force gravitationnelle parallèle au plan incliné

La force gravitationnelle parallèle au plan incliné (\(F_{\text{grav, par}}\)) peut être calculée avec la formule :

\[ F_{\text{grav, par}} = m \cdot g \cdot \sin(\theta) \]

En substituant les valeurs données :

\[ F_{\text{grav, par}} = 50\, \text{kg} \cdot 9.81\, \text{m/s}^2 \cdot \sin(30^\circ) \] \[ F_{\text{grav, par}} = 50 \cdot 9.81 \cdot 0.5 \] \[ F_{\text{grav, par}} = 245.25\, \text{N} \]

Force de frottement statique maximale

La force normale (\(F_{\text{norm}}\)) est donnée par :

\[ F_{\text{norm}} = m \cdot g \cdot \cos(\theta) \] \[ F_{\text{norm}} = 50 \cdot 9.81 \cdot \cos(30^\circ) \] \[ F_{\text{norm}} = 50 \cdot 9.81 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ F_{\text{norm}} = 424.41\, \text{N} \]

La force de frottement statique maximale (\(F_{\text{frott, stat}}\)) peut être calculée :

\[ F_{\text{frott, stat}} = \mu_s \cdot F_{\text{norm}} \] \[ F_{\text{frott, stat}} = 0.3 \cdot 424.41 \] \[ F_{\text{frott, stat}} = 127.32\, \text{N} \]

La force gravitationnelle parallèle (\(245.25\, \text{N}\)) est supérieure à la force de frottement statique maximale (\(127.32\, \text{N}\)).

Donc, la caisse va glisser.

2. Calcul de l’accélération si la caisse glisse

Force de frottement cinétique

\[ F_{\text{frott, kin}} = \mu_k \cdot F_{\text{norm}} \] \[ F_{\text{frott, kin}} = 0.25 \cdot 424.41 \] \[ F_{\text{frott, kin}} = 106.10\, \text{N} \]

Force nette agissant sur la caisse

La force nette (\(F_{\text{net}}\)) est la différence entre la force gravitationnelle parallèle et la force de frottement cinétique :
\[ F_{\text{net}} = F_{\text{grav, par}} – F_{\text{frott, kin}} \] \[ F_{\text{net}} = 245.25 – 106.10 \] \[ F_{\text{net}} = 139.15\, \text{N} \]

Accélération de la caisse

\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} \] \[ a = \frac{139.15}{50} \] \[ a = 2.78\, \text{m/s}^2 \]

3. Vitesse de la caisse après avoir parcouru 5 m

Utilisant la formule de la vitesse finale pour un mouvement accéléré :

\[ v = \sqrt{2 \cdot a \cdot d} \] \[ v = \sqrt{2 \cdot 2.78 \cdot 5} \] \[ v = \sqrt{27.8} \] \[ v = 5.27\, \text{m/s} \]

Conclusion :

La caisse va glisser sur le plan incliné avec une accélération de \(2.78\, \text{m/s}^2\) et atteindra une vitesse de \(5.27\, \text{m/s}\) après avoir parcouru 5 m.

Étude du Mouvement sur Plan Incliné

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