Étude du Mouvement sur Plan Incliné
Comprendre l’Étude du Mouvement sur Plan Incliné
Une caisse de masse \(m = 50\, \text{kg}\) est posée sur un plan incliné faisant un angle \(\theta = 30^\circ\) avec l’horizontale.
Le coefficient de frottement statique entre la caisse et le plan incliné est \(\mu_s = 0.3\) et le coefficient de frottement cinétique est \(\mu_k = 0.25\).
Questions
- Déterminer si la caisse va glisser.
- Calculez la force gravitationnelle parallèle au plan incliné agissant sur la caisse.
- Déterminez la force de frottement statique maximale pouvant agir sur la caisse.
- Concluez si la force gravitationnelle parallèle suffit pour vaincre le frottement statique.
- Calcul de l’accélération si la caisse glisse.
- Si la caisse commence à glisser, calculez l’accélération de la caisse en utilisant la loi de Newton.
- Détermination de la vitesse de la caisse après avoir parcouru sur le plan incliné.
- En supposant que la caisse part du repos, utilisez l’équation du mouvement pour trouver sa vitesse après avoir parcouru cette distance.
Données à utiliser:
- Gravité (\(g\)) = \(9.81\, \text{m/s}^2\)
- Masse (\(m\)) = \(50\, \text{kg}\)
- Angle (\(\theta\)) = \(30^\circ\)
- Coefficient de frottement statique (\(\mu_s\)) = \(0.3\)
- Coefficient de frottement cinétique (\(\mu_k\)) = \(0.25\)
- Distance parcourue (\(d\)) = \(5\, \text{m}\)
Correction : Étude du Mouvement sur Plan Incliné
1. Déterminer si la caisse va glisser
Force gravitationnelle parallèle au plan incliné
La force gravitationnelle parallèle au plan incliné (\(F_{\text{grav, par}}\)) peut être calculée avec la formule :
\[ F_{\text{grav, par}} = m \cdot g \cdot \sin(\theta) \]
En substituant les valeurs données :
\[ F_{\text{grav, par}} = 50\, \text{kg} \cdot 9.81\, \text{m/s}^2 \cdot \sin(30^\circ) \] \[ F_{\text{grav, par}} = 50 \cdot 9.81 \cdot 0.5 \] \[ F_{\text{grav, par}} = 245.25\, \text{N} \]
Force de frottement statique maximale
La force normale (\(F_{\text{norm}}\)) est donnée par :
\[ F_{\text{norm}} = m \cdot g \cdot \cos(\theta) \] \[ F_{\text{norm}} = 50 \cdot 9.81 \cdot \cos(30^\circ) \] \[ F_{\text{norm}} = 50 \cdot 9.81 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ F_{\text{norm}} = 424.41\, \text{N} \]
La force de frottement statique maximale (\(F_{\text{frott, stat}}\)) peut être calculée :
\[ F_{\text{frott, stat}} = \mu_s \cdot F_{\text{norm}} \] \[ F_{\text{frott, stat}} = 0.3 \cdot 424.41 \] \[ F_{\text{frott, stat}} = 127.32\, \text{N} \]
La force gravitationnelle parallèle (\(245.25\, \text{N}\)) est supérieure à la force de frottement statique maximale (\(127.32\, \text{N}\)).
Donc, la caisse va glisser.
2. Calcul de l’accélération si la caisse glisse
Force de frottement cinétique
\[ F_{\text{frott, kin}} = \mu_k \cdot F_{\text{norm}} \] \[ F_{\text{frott, kin}} = 0.25 \cdot 424.41 \] \[ F_{\text{frott, kin}} = 106.10\, \text{N} \]
Force nette agissant sur la caisse
La force nette (\(F_{\text{net}}\)) est la différence entre la force gravitationnelle parallèle et la force de frottement cinétique :
\[ F_{\text{net}} = F_{\text{grav, par}} – F_{\text{frott, kin}} \] \[ F_{\text{net}} = 245.25 – 106.10 \] \[ F_{\text{net}} = 139.15\, \text{N} \]
Accélération de la caisse
\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} \] \[ a = \frac{139.15}{50} \] \[ a = 2.78\, \text{m/s}^2 \]
3. Vitesse de la caisse après avoir parcouru 5 m
Utilisant la formule de la vitesse finale pour un mouvement accéléré :
\[ v = \sqrt{2 \cdot a \cdot d} \] \[ v = \sqrt{2 \cdot 2.78 \cdot 5} \] \[ v = \sqrt{27.8} \] \[ v = 5.27\, \text{m/s} \]
Conclusion :
La caisse va glisser sur le plan incliné avec une accélération de \(2.78\, \text{m/s}^2\) et atteindra une vitesse de \(5.27\, \text{m/s}\) après avoir parcouru 5 m.
Étude du Mouvement sur Plan Incliné
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