Voyage interstellaire et relativité restreinte

Voyage interstellaire et relativité restreinte

Comprendre le Voyage interstellaire et relativité restreinte

Alice entreprend un voyage depuis la Terre vers une étoile située à 4 années-lumière de distance. Son vaisseau spatial peut atteindre une vitesse de \(0.8c\), où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide.

Questions

1. Durée du voyage selon Alice

Calculez la durée du voyage pour Alice en utilisant le concept de dilatation du temps.

2. Durée du voyage selon les observateurs sur Terre

Calculez la durée du voyage selon un observateur restant sur Terre.

3. Distance mesurée par Alice

En utilisant la contraction des longueurs, calculez la distance à l’étoile telle que mesurée par Alice pendant son voyage.

4. Vitesse relative d’un autre vaisseau

Supposons qu’un autre vaisseau spatial voyage dans la direction opposée à Alice avec une vitesse de \(0,6c\). Utilisez la transformation des vitesses pour calculer la vitesse de ce vaisseau par rapport à Alice.

Correction : Voyage interstellaire et relativité restreinte

1. Durée du voyage selon Alice

La durée du voyage pour Alice, en tenant compte de la dilatation du temps, est calculée comme suit :

  • Facteur de Lorentz (\(\gamma\)) :

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2}} \] \[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – 0.8^2}} = 1.67 \]

  • Durée du voyage pour Alice :

\[ \Delta t’ = \frac{L}{v \cdot \gamma} \] \[ \Delta t’ = \frac{4}{0.8 \times 1.67} = 3.0 \text{ années} \]

2. Durée du voyage selon les observateurs sur Terre

La durée du voyage selon un observateur sur Terre, qui ne subit pas les effets de la dilatation du temps, est :

\[ \Delta t = \frac{L}{v} \] \[ \Delta t = \frac{4}{0.8} = 5.0 \text{ années} \]

3. Distance mesurée par Alice

La distance à l’étoile telle que mesurée par Alice, compte tenu de la contraction des longueurs, est :

\[ L’ = L \sqrt{1 – \left(\frac{v}{c}\right)^2} \] \[ L’ = 4 \times \sqrt{1 – 0.8^2} \] \[ L’ = 2.4 \text{ années-lumière} \]

4. Vitesse relative d’un autre vaisseau

Calculons la vitesse de l’autre vaisseau spatial par rapport à Alice, en utilisant la transformation des vitesses pour des vitesses parallèles :

\[ u’ = \frac{u – v}{1 – \frac{u \cdot v}{c^2}} \] \[ u’ = \frac{0.6 – 0.8}{1 – \frac{0.6 \times 0.8}{1}} = -0.385c \]

Voyage interstellaire et relativité restreinte

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