Onde Mécanique sur une Corde

Onde Mécanique sur une Corde

Comprendre : Onde Mécanique sur une Corde

Une corde tendue de longueur L = 20 m est fixée à une extrémité. À l’autre extrémité, elle est mise en oscillation par un dispositif produisant une onde sinusoïdale.

On mesure une longueur d’onde \( \lambda = 2 \, \text{m} \) et une fréquence \( f = 5 \, \text{Hz} \).

Questions

1. Calcul de la Vitesse de Propagation:
Calculez la vitesse de propagation de l’onde sur la corde.

2. Période de l’Onde:
Déterminez la période de cette onde.

3. Équation de l’Onde:
Écrivez l’équation de l’onde se propageant dans le sens positif le long de la corde, en supposant une amplitude de \( A = 0.05 \, \text{m} \) et en prenant comme origine des phases le moment où l’onde est produite.

4. Points en Résonance:
Identifiez les positions le long de la corde (en partant de l’extrémité fixe) où se trouvent les nœuds et les ventres de l’onde.

5. Effet d’une Modification de Fréquence:
Si la fréquence est augmentée à \( 10 \, \text{Hz} \) tout en gardant la même tension dans la corde, comment cela affectera-t-il la longueur d’onde? Calculez la nouvelle longueur d’onde.

Correction : Onde Mécanique sur une Corde

1. Calcul de la Vitesse de Propagation

La vitesse de propagation \( v \) d’une onde est donnée par le produit de sa fréquence \( f \) par sa longueur d’onde \( \lambda \). Ici, \( f = 5 \, \text{Hz} \) et \( \lambda = 2 \, \text{m} \).

\[ v = \lambda \times f \] \[ v = 2 \, \text{m} \times 5 \, \text{Hz} \] \[ v = 10 \, \text{m/s} \]

La vitesse de propagation de l’onde sur la corde est de \( 10 \, \text{m/s} \).

2. Période de l’Onde

La période \( T \) est l’inverse de la fréquence. Donc,

\[ T = \frac{1}{f} \] \[ T = \frac{1}{5 \, \text{Hz}} = 0.2 \, \text{s} \]

La période de cette onde est de \( 0.2 \, \text{s} \).

3. Équation de l’Onde

L’équation d’une onde sinusoïdale se propageant dans une direction est donnée par :

\( y(x, t) = A \sin\left(2\pi \left(\frac{x}{\lambda} – \frac{t}{T}\right)\right) \)

Ici, \( A = 0.05 \, \text{m} \), \( \lambda = 2 \, \text{m} \) et \( T = 0.2 \, \text{s} \).

\( y(x, t) = 0.05 \sin\left(2\pi \left(\frac{x}{2} – 5t\right)\right) \)

L’équation de l’onde est \( y(x, t) = 0.05 \sin\left(2\pi \left(\frac{x}{2} – 5t\right)\right) \).

4. Points en Résonance

Les nœuds sont les points où l’amplitude de l’onde est toujours nulle. Ils se trouvent aux multiples de \( \frac{\lambda}{2} \), soit \( 1 \, \text{m}, 3 \, \text{m}, 5 \, \text{m}, \ldots \) jusqu’à \( 19 \, \text{m} \).

Les ventres sont les points où l’amplitude de l’onde atteint son maximum. Ils se situent aux multiples de \( \lambda \), soit \( 2 \, \text{m}, 4 \, \text{m}, 6 \, \text{m}, \ldots \) jusqu’à \( 20 \, \text{m} \).

Les nœuds sont aux positions \( 1 \, \text{m}, 3 \, \text{m}, \ldots, 19 \, \text{m} \) et les ventres aux positions \( 2 \, \text{m}, 4 \, \text{m}, \ldots, 20 \, \text{m} \).

5. Effet d’une Modification de Fréquence

Si la fréquence est doublée, la longueur d’onde sera divisée par deux pour maintenir la même vitesse de propagation (car \( v = \lambda f \)). La nouvelle longueur d’onde est donc :

\[ \lambda_{\text{new}} = \frac{v}{f_{\text{new}}} \] \[ \lambda_{\text{new}} = \frac{10 \, \text{m/s}}{10 \, \text{Hz}} = 1 \, \text{m} \]

La nouvelle longueur d’onde sera de \( 1 \, \text{m} \).

Onde Mécanique sur une Corde

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