Électron dans un champ magnétique uniforme

Électron dans un champ magnétique uniforme

Comprendre l’Électron dans un champ magnétique uniforme

Un électron est projeté avec une vitesse initiale \(\vec{v}\) dans un espace où règne un champ magnétique uniforme \(\vec{B}\).

Le champ magnétique est perpendiculaire à la vitesse initiale de l’électron.

Données:

  • Masse de l’électron, \(m = 9.11 \times 10^{-31}\) kg
  • Charge de l’électron, \(q = -1.60 \times 10^{-19}\) C
  • Vitesse initiale de l’électron, \(\vec{v} = 3.00 \times 10^6\) m/s (dirigée vers le nord)
  • Champ magnétique, \(\vec{B} = 2.00 \times 10^{-3}\) T (dirigé vers le haut).

Questions:

1. Calcul de la force de Lorentz

Déterminez l’expression et la valeur de la force magnétique \(\vec{F}\) agissant sur l’électron due à son mouvement dans le champ magnétique.

2. Trajectoire de l’électron

Décrivez la forme de la trajectoire que va suivre l’électron sous l’effet de cette force. Justifiez votre réponse.

3. Période de rotation

Calculez la période \(T\) de rotation de l’électron dans le champ magnétique.

Correction : Électron dans un champ magnétique uniforme

1. Calcul de la Force de Lorentz

La force de Lorentz est donnée par l’équation vectorielle suivante :

\[ \vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B} \]

Pour cet électron :

  • \(q = -1.60 \times 10^{-19}\) C (charge de l’électron)
  • \(\vec{v} = 3.00 \times 10^6\) m/s (dirigée vers le nord)
  • \(\vec{B} = 2.00 \times 10^{-3}\) T (dirigé vers le haut)

Comme \(\vec{v}\) est dirigé vers le nord et \(\vec{B}\) vers le haut, leur produit vectoriel pointera vers l’ouest.

La force \(\vec{F}\) sera alors orientée vers l’ouest en raison du signe négatif de la charge de l’électron. Calculons la magnitude de \(\vec{F}\) :

\[ F = |q| v B \sin(\theta) \]

où \(\theta = 90^\circ\) car les vecteurs sont perpendiculaires, donc \(\sin(90^\circ) = 1\).

Substituons les valeurs :

\[ F = (1.60 \times 10^{-19} \, \text{C}) \times (3.00 \times 10^6 \, \text{m/s}) \times (2.00 \times 10^{-3} \, \text{T}) \] \[ F = 9.60 \times 10^{-16} \, \text{N} \]

La force est donc de \(9.60 \times 10^{-16}\) N, dirigée vers l’ouest.

2. Trajectoire de l’électron

La force étant perpendiculaire à la vitesse à tout moment, l’électron suivra une trajectoire circulaire.

La force centripète nécessaire pour maintenir l’électron sur une trajectoire circulaire est fournie par la force magnétique.

3. Période de rotation

La période de rotation \(T\) d’un électron dans un champ magnétique est donnée par :

\[ T = \frac{2\pi m}{|q|B} \]

Substituons les valeurs :

\[ T = \frac{2\pi \times 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg}}{1.60 \times 10^{-19} \, \text{C} \times 2.00 \times 10^{-3} \, \text{T}} \] \[ T \approx \frac{1.142 \times 10^{-30}}{3.20 \times 10^{-22}} \] \[ T \approx 1.79 \times 10^{-8} \, \text{s} \]

La période de rotation de l’électron est donc approximativement \(1.79 \times 10^{-8}\) secondes.

Électron dans un champ magnétique uniforme

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