Forces de Frottement sur un Toboggan
Comprendre les Forces de Frottement sur un Toboggan
Imagine que tu es un ingénieur qui conçoit un nouveau toboggan pour un parc de jeux. Pour assurer la sécurité et le plaisir des enfants, tu dois prendre en compte la force de frottement entre le toboggan et les vêtements des utilisateurs. Le toboggan est incliné à un angle de 30° par rapport au sol, et tu estimes que le coefficient de frottement entre le toboggan et les vêtements est de 0,3.
Données:
- Masse de l’enfant : 40 kg
- Angle d’inclinaison du toboggan : 30°
- Coefficient de frottement (μ) : 0,3
- Accélération due à la gravité (g) : 9,8 m/s²
- Longueur du toboggan : 5 m
Questions:
1. Calculer le poids de l’enfant. Le poids est la force due à la gravité agissant sur la masse de l’enfant.
2. Déterminer la force normale. Sur un plan incliné, la force normale est perpendiculaire à la surface du plan.
3. Calculer la force de frottement.
4. Déterminer l’accélération de l’enfant sur le toboggan.
5. Estimer le temps mis par l’enfant pour descendre le toboggan.
Correction : Forces de Frottement sur un Toboggan
1. Calcul du poids de l’enfant
Le poids \( P \) est la force de gravitation agissant sur l’objet et se calcule par la formule :
\[P = m \times g\]
En substitutant les valeurs :
\[P = 40\,\text{kg} \times 9,8\,\text{m/s}^2\]
\[P = 392\,\text{N}\]
Résultat : Le poids de l’enfant est 392 N.
2. Détermination de la force normale
Sur un plan incliné, la force normale \( N \) est égale à la composante du poids perpendiculaire à la surface du plan.
Elle se calcule ainsi :
\[N = P \times \cos(\theta)\]
En substituant les valeurs :
\[N = 392\,\text{N} \times \cos(30°)\]
On sait que :
\[\cos(30°) \approx 0,8660\]
Donc :
\[N = 392\,\text{N} \times 0,8660\]
\[N \approx 339,7\,\text{N}\]
Résultat : La force normale est approximativement 339,7 N.
3. Calcul de la force de frottement
La force de frottement \( F_{\text{frottement}} \) est donnée par :
\[F_{\text{frottement}} = \mu \times N\]
En substituant les valeurs :
\[F_{\text{frottement}} = 0,3 \times 339,7\,\text{N}\]
\[F_{\text{frottement}} \approx 101,91\,\text{N}\]
Résultat : La force de frottement est d’environ 101,91 N.
4. Détermination de l’accélération de l’enfant sur le toboggan
Sur un plan incliné, la composante du poids parallèle au plan est :
\[P_{\parallel} = P \times \sin(\theta)\]
- Calcul de \(P_{\parallel}\) :
\[P_{\parallel} = 392\,\text{N} \times \sin(30°)\]
On sait que :
\[sin(30°) = 0,5\]
Donc :
\[P_{\parallel} = 392\,\text{N} \times 0,5\]
\[P_{\parallel} = 196\,\text{N}\]
- Calcul de la force nette \( F_{n} \) :
La force nette \( F_{n} \) qui accélère l’enfant le long du toboggan est la différence entre la composante parallèle du poids et la force de frottement :
\[F_{n} = P_{\parallel} – F_{\text{frottement}}\]
En substituant les valeurs :
\[F_{n} = 196\,\text{N} – 101,91\,\text{N}\]
\[F_{n} \approx 94,09\,\text{N}\]
D’après la deuxième loi de Newton, l’accélération \( a \) se calcule par :
\[a = \frac{F_{n}}{m}\]
En substituant les valeurs :
\[a = \frac{94,09\,\text{N}}{40\,\text{kg}}\]
\[a \approx 2,3523\,\text{m/s}^2\]
Résultat : L’accélération de l’enfant sur le toboggan est d’environ 2,35 m/s2.
5. Estimation du temps mis par l’enfant pour descendre le toboggan
On considère que l’enfant part du repos et qu’il accélère uniformément le long du toboggan de longueur \( L \). La relation entre la distance parcourue, l’accélération et le temps \( t \) est donnée par :
\[L = \frac{1}{2} \times a \times t^2\]
Pour trouver \( t \), on résout :
\[t = \sqrt{\frac{2 \times L}{a}}\]
En substituant les valeurs :
\[t = \sqrt{\frac{2 \times 5\,\text{m}}{2,3523\,\text{m/s}^2}}\]
\[t = \sqrt{\frac{10\,\text{m}}{2,3523\,\text{m/s}^2}}\]
\[t \approx \sqrt{4,251}\]
\[t \approx 2,062\,\text{s}\]
Résultat : Le temps approximatif pour descendre le toboggan est 2,06 secondes.
Forces de Frottement sur un Toboggan
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