La Montagne Russe Sans Frottement

Comprendre La Montagne Russe Sans Frottement

Un wagon de montagne russe, de masse m = 500 kg, est lâché d’un point A situé à h = 40 m au-dessus du sol. Le wagon descend le long d’une piste puis remonte jusqu’à un point B situé à une hauteur hB = 10 m (voir figure ci-dessous). On néglige les frottements pour cet exercice.

Données:

Masse du wagon, m = 500 kg
Hauteur initiale, h = 40 m
Hauteur au point B, hB = 10 m
Accélération due à la gravité, g = 9.8 m/s²

Questions :

Vous devez calculer :

1. La vitesse du wagon au point le plus bas de la piste (C).
2. La vitesse du wagon au point B.
3. La hauteur maximale \(h_{\text{max}}\) que le wagon peut atteindre s’il continue sur une autre montée après le point B sans atteindre un nouveau sommet.

Correction : La Montagne Russe Sans Frottement

1. Calcul de la vitesse au point C

Au point A, le wagon possède uniquement de l’énergie potentielle :
\[E_{p,A} = m \times g \times h_A\]

\[E_{p,A} = 500 \times 9.8 \times 40\]
Au point C (le point le plus bas), toute cette énergie s’est convertie en énergie cinétique (\(E_{k,C}\)) puisque l’on néglige les frottements :
\[E_{k,C} = \frac{1}{2} \times m \times v_C^2\]

Égalité d’énergie entre A et C :

\[E_{k,C} = m \times g \times h_A = \frac{1}{2} \times m \times v_C^2\]

On simplifie par \( m \) (non nul) :
\[E_{k,C} = g \times h_A = \frac{1}{2} \times v_C^2\]

Calculons \( v_C \) :

En substituant les valeurs :
\[v_C = 9.8 \times 40 = \frac{1}{2} \times v_C^2\]

\[v_C = 392 = \frac{1}{2} \times v_C^2\]
Multiplions les deux côtés par 2 :
\[v_C^2 = 392 \times 2 = 784\]
Puis en extrayant la racine carrée :
\[v_C = \sqrt{784}\]

\[v_C = 28\ \text{m/s}\]

Résultat :
La vitesse du wagon au point le plus bas est 28 m/s.

2. Calcul de la vitesse au point B

Entre le point C et le point B, le wagon remonte. Son énergie cinétique se transforme en énergie potentielle. Au point B, le wagon a à la fois une énergie potentielle et une énergie cinétique.

La conservation de l’énergie entre le point A et le point B s’exprime ainsi :
\[\text{Énergie à A} = \text{Énergie à B}\]

Au point A (énergie totale) :

\[E_A = m \times g \times h_A\]

\[E_A = m \times g \times 40\]

Au point B, l’énergie totale est la somme de l’énergie potentielle et cinétique :

\[E_B = m \times g \times h_B + \frac{1}{2} \times m \times v_B^2\]

\[E_B = m \times g \times 10 + \frac{1}{2} \times m \times v_B^2\]

En égalant les deux expressions et simplifiant par \( m \) :

On obtient :

\[E_B = g \times 40 = g \times 10 + \frac{1}{2} \times v_B^2\]

Isolons la composante cinétique :

\[v_B = g \times (40 – 10) = \frac{1}{2} \times v_B^2\]
\[v_B = g \times 30 = \frac{1}{2} \times v_B^2\]

Substitution numérique :

\[v_B = 9.8 \times 30 = \frac{1}{2} \times v_B^2\]

\[v_B = 294 = \frac{1}{2} \times v_B^2\]

Multiplions par 2 :
\[v_B^2 = 294 \times 2 = 588\]

Puis en extrayant la racine carrée :
\[v_B = \sqrt{588} \approx 24.2487\ \text{m/s}\]

Nous pouvons arrondir :
\[v_B \approx 24.25\ \text{m/s}\]

Résultat :
La vitesse du wagon au point B est environ 24.25 m/s.

3. Calcul de la hauteur maximale \( h_{max} \) après le point B

Si le wagon continue sur une nouvelle montée après le point B, il va transformer toute son énergie cinétique en énergie potentielle jusqu’à s’arrêter brièvement au point le plus haut.

Au point B, la vitesse est \( v_B \) et l’énergie cinétique associée est :
\[E_{k,B} = \frac{1}{2} \times m \times v_B^2\]

Cette énergie se convertira en énergie potentielle supplémentaire dans la montée :
\[E_{k,B} = \frac{1}{2} \times m \times v_B^2 = m \times g \times (h_{max} – h_B)\]

On peut simplifier par \( m \) :

\[E_{k,B} = \frac{1}{2} \times v_B^2 = g \times (h_{max} – h_B)\]

Isolons \( h_{max} \) :
\[h_{max} – h_B = \frac{v_B^2}{2g}\]
\[h_{max} = h_B + \frac{v_B^2}{2g}\]

Substitution numérique avec \( v_B^2 = 588 \) :

\[h_{max} = 10 + \frac{588}{2 \times 9.8}\]
Calculons le dénominateur :
\[2 \times 9.8 = 19.6\]
\[h_{max} = 10+\frac{588}{19.6}\]
\[h_{max} = 10 + 30 = 40\ \text{m}\]

Résultat :
La hauteur maximale atteinte par le wagon est de 40 m.

La Montagne Russe Sans Frottement

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