La Montagne Russe Sans Frottement
Comprendre La Montagne Russe Sans Frottement
Un wagon de montagne russe, de masse m = 500 kg, est lâché d’un point A situé à h = 40 m au-dessus du sol. Le wagon descend le long d’une piste puis remonte jusqu’à un point B situé à une hauteur hB = 10 m (voir figure ci-dessous). On néglige les frottements pour cet exercice.
Vous devez calculer :
1. La vitesse du wagon au point le plus bas de la piste (C).
2. La vitesse du wagon au point B.
3. La hauteur maximale \(h_{\text{max}}\) que le wagon peut atteindre s’il continue sur une autre montée après le point B sans atteindre un nouveau sommet.
Données:
- Masse du wagon, m = 500 kg
- Hauteur initiale, h = 40 m
- Hauteur au point B, hB = 10 m
- Accélération due à la gravité, g = 9.8 m/s²
Correction : La Montagne Russe Sans Frottement
1. Vitesse au point C
Principe utilisé : La conservation de l’énergie mécanique. L’énergie potentielle au point A se convertit intégralement en énergie cinétique au point C, car nous ignorons les frottements.
Calculs :
- Énergie potentielle à A :
\[ E_{\text{potentielle, A}} = mgh \] \[ E_{\text{potentielle, A}} = 500 \times 9.8 \times 40 \] \[ E_{\text{potentielle, A}} = 196,000\, \text{Joules} \]
- Énergie cinétique à C :
\[ E_{\text{cinétique, C}} = E_{\text{potentielle, A}} \] \[ E_{\text{cinétique, C}} = 196,000\, \text{Joules} \]
- Vitesse au point C :
\[ v_C = \sqrt{\frac{2E_{\text{cinétique, C}}}{m}} \] \[ v_C = \sqrt{\frac{2 \times 196,000}{500}} \] \[ v_C = 28.0\, \text{m/s} \]
La vitesse du wagon au point C est de 28.0 m/s.
2. Vitesse au point B
Principe utilisé : La conservation de l’énergie mécanique entre les points C et B.
Calculs :
- Énergie potentielle à B :
\[ E_{\text{potentielle, B}} = mgh_B \] \[ E_{\text{potentielle, B}} = 500 \times 9.8 \times 10 \] \[ E_{\text{potentielle, B}} = 49,000\, \text{Joules} \]
- Énergie cinétique à B :
\[E_{\text{cinétique, B}} = E_{\text{potentielle, A}} – E_{\text{potentielle, B}}\]
\[ E_{\text{cinétique, B}} = 196,000 – 49,000 \] \[ E_{\text{cinétique, B}} = 147,000\, \text{Joules}\]
- Vitesse au point B :
\[ v_B = \sqrt{\frac{2E_{\text{cinétique, B}}}{m}} \] \[ v_B = \sqrt{\frac{2 \times 147,000}{500}} \] \[ v_B = 24.25\, \text{m/s} \]
La vitesse du wagon au point B est de 24.25 m/s.
3. Hauteur maximale \(h_{\text{max}}\)
Principe utilisé : Toute l’énergie cinétique au point B se reconvertit en énergie potentielle à \(h_{\text{max}}\).
Calculs :
Énergie totale à B :
\[E_{\text{totale, B}} = E_{\text{cinétique, B}} + E_{\text{potentielle, B}}\] \[ E_{\text{totale, B}} = 147,000 + 49,000 \] \[ E_{\text{totale, B}} = 196,000\, \text{Joules} \]
- Hauteur maximale \(h_{\text{max}}\) :
\[ h_{\text{max}} = \frac{E_{\text{totale, B}}}{mg} \] \[ h_{\text{max}} = \frac{196,000}{500 \times 9.8} \] \[ h_{\text{max}} = 40.0\, \text{m} \]
La hauteur maximale \(h_{\text{max}}\) que le wagon peut atteindre après le point \(B\) est de 40.0 m, ce qui est identique à sa hauteur initiale au point A.
La Montagne Russe Sans Frottement
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