La Montagne Russe Sans Frottement

La Montagne Russe Sans Frottement

Comprendre La Montagne Russe Sans Frottement

Un wagon de montagne russe, de masse m = 500 kg, est lâché d’un point A situé à h = 40 m au-dessus du sol. Le wagon descend le long d’une piste puis remonte jusqu’à un point B situé à une hauteur hB = 10 m (voir figure ci-dessous). On néglige les frottements pour cet exercice.

Vous devez calculer :

1. La vitesse du wagon au point le plus bas de la piste (C).
2. La vitesse du wagon au point B.
3. La hauteur maximale \(h_{\text{max}}\) que le wagon peut atteindre s’il continue sur une autre montée après le point B sans atteindre un nouveau sommet.

Données:

  • Masse du wagon, m = 500 kg
  • Hauteur initiale, h = 40 m
  • Hauteur au point B, hB = 10 m
  • Accélération due à la gravité, g = 9.8 m/s²
La Montagne Russe Sans Frottement

Correction : La Montagne Russe Sans Frottement

1. Vitesse au point C

Principe utilisé : La conservation de l’énergie mécanique. L’énergie potentielle au point A se convertit intégralement en énergie cinétique au point C, car nous ignorons les frottements.

Calculs :

  • Énergie potentielle à A :

\[ E_{\text{potentielle, A}} = mgh \] \[ E_{\text{potentielle, A}} = 500 \times 9.8 \times 40 \] \[ E_{\text{potentielle, A}} = 196,000\, \text{Joules} \]

  • Énergie cinétique à C :

\[ E_{\text{cinétique, C}} = E_{\text{potentielle, A}} \] \[ E_{\text{cinétique, C}} = 196,000\, \text{Joules} \]

  • Vitesse au point C :

\[ v_C = \sqrt{\frac{2E_{\text{cinétique, C}}}{m}} \] \[ v_C = \sqrt{\frac{2 \times 196,000}{500}} \] \[ v_C = 28.0\, \text{m/s} \]

La vitesse du wagon au point C est de 28.0 m/s.

2. Vitesse au point B

Principe utilisé : La conservation de l’énergie mécanique entre les points C et B.

Calculs :

  • Énergie potentielle à B :

\[ E_{\text{potentielle, B}} = mgh_B \] \[ E_{\text{potentielle, B}} = 500 \times 9.8 \times 10 \] \[ E_{\text{potentielle, B}} = 49,000\, \text{Joules} \]

  • Énergie cinétique à B :

\[E_{\text{cinétique, B}} = E_{\text{potentielle, A}} – E_{\text{potentielle, B}}\]

\[ E_{\text{cinétique, B}} = 196,000 – 49,000 \] \[ E_{\text{cinétique, B}} = 147,000\, \text{Joules}\]

  • Vitesse au point B :

\[ v_B = \sqrt{\frac{2E_{\text{cinétique, B}}}{m}} \] \[ v_B = \sqrt{\frac{2 \times 147,000}{500}} \] \[ v_B = 24.25\, \text{m/s} \]

La vitesse du wagon au point B est de 24.25 m/s.

3. Hauteur maximale \(h_{\text{max}}\)

Principe utilisé : Toute l’énergie cinétique au point B se reconvertit en énergie potentielle à \(h_{\text{max}}\).

Calculs :

Énergie totale à B :

\[E_{\text{totale, B}} = E_{\text{cinétique, B}} + E_{\text{potentielle, B}}\] \[ E_{\text{totale, B}} = 147,000 + 49,000 \] \[ E_{\text{totale, B}} = 196,000\, \text{Joules} \]

  • Hauteur maximale \(h_{\text{max}}\) :

\[ h_{\text{max}} = \frac{E_{\text{totale, B}}}{mg} \] \[ h_{\text{max}} = \frac{196,000}{500 \times 9.8} \] \[ h_{\text{max}} = 40.0\, \text{m} \]

La hauteur maximale \(h_{\text{max}}\) que le wagon peut atteindre après le point \(B\) est de 40.0 m, ce qui est identique à sa hauteur initiale au point A.

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