Lois de Newton pour la Rotation
Comprendre les Lois de Newton pour la Rotation
Imaginez qu’un ingénieur travaille sur la conception d’une nouvelle roue pour un véhicule électrique. La roue est conçue pour maximiser l’efficacité du transfert de puissance du moteur à la route. L’ingénieur doit s’assurer que la conception de la roue permet un démarrage efficace sans glissement excessif. Pour ce faire, il est essentiel de comprendre le moment d’inertie de la roue et l’effet des forces appliquées.
Données:
- Masse de la roue, \( m \): 20 kg
- Rayon de la roue, \( r \): 0.5 m
- Coefficient de frottement entre la roue et la route, \( \mu \): 0.3
- Force appliquée par le moteur sous forme de couple, \( \tau \): 150 Nm
Questions:
1. Calculer le Moment d’Inertie de la Roue:
Supposons que la roue peut être approximée comme un disque solide.
2. Calculer l’Accélération Angulaire \( \alpha \) de la Roue:
Utilisez la deuxième loi de Newton pour la rotation, \( \tau = I \alpha \), pour trouver l’accélération angulaire de la roue lorsque le couple est appliqué.
3. Déterminer la Force de Frottement Nécessaire pour Éviter le Glissement:
La force de frottement maximale avant le glissement est donnée par: \( F_{\text{friction}} = \mu N \) où \( N = m g \) est la force normale (supposons que la gravité, \( g \), est de 9.81 m/s\(^2\)). Vérifiez si le frottement peut empêcher la roue de glisser en comparant avec la force tangentielle due à l’accélération angulaire, \( F_{\text{tangentielle}} = \alpha r \).
4. Évaluer le Risque de Glissement à l’Accélération Maximale
Discutez si la force de frottement disponible est suffisante pour supporter la force tangentielle exercée par le couple moteur sans que la roue ne commence à glisser. Si elle glisse, déterminez l’implication sur le démarrage du véhicule.
Correction : Lois de Newton pour la Rotation
1. Calcul du Moment d’Inertie de la Roue
Pour une roue approchée par un disque solide, le moment d’inertie est donné par la formule :
Formule :
\[ I = \frac{1}{2} m r^2 \]
Données :
- Masse, \( m = 20 \, \text{kg} \)
- Rayon, \( r = 0.5 \, \text{m} \)
Calcul :
\[ I = \frac{1}{2} \times 20 \, \text{kg} \times (0.5 \, \text{m})^2 \] \[ I = 0.5 \times 20 \times 0.25 \] \[ I = 2.5 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \]
2. Calcul de l’Accélération Angulaire \(\alpha\) de la Roue
La deuxième loi de Newton pour la rotation relie le couple appliqué, le moment d’inertie et l’accélération angulaire par la relation :
Formule :
\[ \tau = I \alpha \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \frac{\tau}{I} \]
Données :
- Couple appliqué, \( \tau = 150 \, \text{Nm} \)
- Moment d’inertie, \( I = 2.5 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
Calcul :
\[ \alpha = \frac{150 \, \text{Nm}}{2.5 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2} \] \[ \alpha = 60 \, \text{rad/s}^2 \]
3. Détermination de la Force de Frottement Nécessaire pour Éviter le Glissement
La force de frottement maximale disponible avant glissement est donnée par :
Formule :
\[ F_{\text{friction}} = \mu N \]
avec \( N = mg \), où \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \).
Données :
- Coefficient de frottement, \( \mu = 0.3 \)
- Masse, \( m = 20 \, \text{kg} \)
- Gravité, \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
Calcul de la Force de Frottement :
\[ F_{\text{friction}} = 0.3 \times (20 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2) \] \[ F_{\text{friction}} = 0.3 \times 196.2 \, \text{N} \] \[ F_{\text{friction}} \approx 58.86 \, \text{N} \]
Calcul de la Force Tangentielle :
La force tangentielle résultant de l’accélération angulaire est donnée par :
Formule :
\[ F_{\text{tangentielle}} = \alpha r \]
Données :
- \( \alpha = 60 \, \text{rad/s}^2 \)
- \( r = 0.5 \, \text{m} \)
Calcul :
\[ F_{\text{tangentielle}} = 60 \, \text{rad/s}^2 \times 0.5 \, \text{m} \] \[ F_{\text{tangentielle}} = 30 \, \text{N} \]
Comparaison :
- Force de frottement maximale disponible : \(\approx 58.86 \, \text{N}\)
- Force tangentielle exercée : \(30 \, \text{N}\)
4. Évaluation du Risque de Glissement à l’Accélération Maximale
Discussion :
- Observation : La force tangentielle (30 N) est inférieure à la force de frottement maximale (≈58.86 N).
- Conclusion : La friction disponible est suffisante pour empêcher le glissement de la roue lorsque le couple de 150 Nm est appliqué.
- Implication :
- Si la roue glissait, cela signifierait une perte d’adhérence, réduisant ainsi l’efficacité du transfert de puissance et compromettant le démarrage du véhicule.
- Ici, la conception permet un démarrage efficace sans glissement, assurant ainsi que le couple moteur est bien converti en accélération rotationnelle et, par la suite, en mouvement linéaire.
Conclusion
En résumé, avec un moment d’inertie de 2.5 kg·m², l’accélération angulaire calculée est de 60 rad/s². La force de frottement maximale disponible (≈58.86 N) dépasse la force tangentielle induite par cette accélération (30 N), garantissant que la roue ne glisse pas au démarrage. Cette analyse confirme que la conception de la roue est adaptée pour une performance optimale dans le transfert de puissance.
Lois de Newton pour la Rotation
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