Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique
Comprendre le Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique
Dans le cadre d’une étude sur les systèmes rotatifs, nous considérons un carrousel de forme cylindrique, utilisé pour des démonstrations en physique. Le carrousel a un toit plat qui peut être approximé comme un disque mince.
Les étudiants sont invités à calculer le moment d’inertie du toit du carrousel par rapport à son axe de rotation, une information cruciale pour comprendre la dynamique de sa rotation.
Données:
- Masse du toit du carrousel, \( M \): 200 kg
- Rayon du toit du carrousel, \( R \): 3 mètres
- Le toit est approximé comme un disque mince et uniforme.
Questions:
1. Calculer le moment d’inertie du toit du carrousel.
2. Supposons que le carrousel doit être mis en rotation jusqu’à atteindre une vitesse angulaire de 2 radians par seconde. Calculer l’énergie cinétique de rotation du toit du carrousel.
3. Discuter comment l’augmentation du rayon du toit affecterait le moment d’inertie et la facilité avec laquelle le carrousel peut être mis en rotation.
Correction : Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique
1. Calcul du Moment d’Inertie
Pour un disque mince et uniforme, le moment d’inertie \(I\) autour d’un axe perpendiculaire passant par le centre est donné par :
\[ I = \frac{1}{2} M R^2 \]
En substituant les valeurs données :
- Masse \(M = 200 \, \text{kg}\)
- Rayon \(R = 3 \, \text{mètres}\)
\[ I = \frac{1}{2} \times 200 \, \text{kg} \times (3 \, \text{m})^2 \] \[ I = \frac{1}{2} \times 200 \times 9 \] \[ I = 900 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \]
Le moment d’inertie du toit du carrousel est donc \(900 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).
2. Calcul de l’Énergie Cinétique de Rotation
L’énergie cinétique de rotation \(K\) est donnée par la formule :
\[ K = \frac{1}{2} I \omega^2 \]
En utilisant le moment d’inertie calculé précédemment et une vitesse angulaire \(\omega = 2 \, \text{rad/s}\) :
\[ K = \frac{1}{2} \times 900 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \times (2 \, \text{rad/s})^2 \] \[ K = \frac{1}{2} \times 900 \times 4 \] \[ K = 1800 \, \text{J} \]
L’énergie cinétique de rotation du toit du carrousel, lorsqu’il tourne à cette vitesse, est donc \(1800 \, \text{J}\).
3. Impact de l’Augmentation du Rayon sur le Moment d’Inertie
Le moment d’inertie \(I\) est proportionnel au carré du rayon \(R\). Ainsi, si le rayon augmente, le moment d’inertie augmente selon le carré de l’augmentation du rayon.
Cela signifie que pour une augmentation même modeste du rayon, le moment d’inertie peut augmenter de manière significative.
Ceci a pour effet de rendre plus difficile la mise en rotation du carrousel à une vitesse angulaire donnée, car un moment d’inertie plus grand nécessite plus d’énergie pour atteindre la même vitesse angulaire.
Moment d’Inertie d’un Disque Cylindrique
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