Onde Mécanique sur une Corde
Comprendre le calcul d’Onde Mécanique sur une Corde
Une corde tendue de longueur L = 20 m est fixée à une extrémité. À l’autre extrémité, elle est mise en oscillation par un dispositif produisant une onde sinusoïdale. On mesure une longueur d’onde \( \lambda = 2 \, \text{m} \) et une fréquence \( f = 5 \, \text{Hz} \).
Questions
1. Calcul de la Vitesse de Propagation:
Calculez la vitesse de propagation de l’onde sur la corde.
2. Période de l’Onde:
Déterminez la période de cette onde.
3. Équation de l’Onde:
Écrivez l’équation de l’onde se propageant dans le sens positif le long de la corde, en supposant une amplitude de \( A = 0.05 \, \text{m} \) et en prenant comme origine des phases le moment où l’onde est produite.
4. Points en Résonance:
Identifiez les positions le long de la corde (en partant de l’extrémité fixe) où se trouvent les nœuds et les ventres de l’onde.
5. Effet d’une Modification de Fréquence:
Si la fréquence est augmentée à \( 10 \, \text{Hz} \) tout en gardant la même tension dans la corde, comment cela affectera-t-il la longueur d’onde? Calculez la nouvelle longueur d’onde.
Correction : Onde Mécanique sur une Corde
1. Calcul de la Vitesse de Propagation
La vitesse de propagation \(v\) d’une onde est liée à sa longueur d’onde \(\lambda\) et à sa fréquence \(f\) par la formule :
\[ v = \lambda \times f \]
Cette relation exprime que la vitesse correspond à la distance parcourue par l’onde en une période (un cycle complet).
Données :
- \(\lambda = 2 \, \text{m}\)
- \(f = 5 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ v = 2 \, \text{m} \times 5 \, \text{Hz} \] \[ v = 10 \, \text{m/s} \]
Conclusion :
La vitesse de propagation de l’onde est \(10 \, \text{m/s}\).
2. Période de l’Onde
La période \(T\) est le temps nécessaire pour parcourir un cycle complet. Elle est l’inverse de la fréquence :
\[ T = \frac{1}{f} \]
Données :
- \(f = 5 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ T = \frac{1}{5} = 0.2 \, \text{s} \]
Conclusion :
La période de l’onde est \(0.2 \, \text{s}\).
3. Équation de l’Onde
L’équation générale d’une onde progressive sinusoïdale se propageant dans le sens positif est :
\[ y(x,t) = A \sin (kx – \omega t + \phi) \]
Où :
- \(A\): amplitude (\(0.05 \, \text{m}\)).
- \(k\): nombre d’onde (\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\)).
- \(\omega\): pulsation (\(\omega = 2\pi f\)).
- \(\phi\): phase initiale (\(\phi = 0\) car l’origine des phases est prise au départ).
Calculs :
- \(k = \frac{2\pi}{2} = \pi \, \text{rad/m}\)
- \(\omega = 2\pi \times 5 = 10\pi \, \text{rad/s}\)
Équation finale :
\[ y(x,t) = 0.05 \sin (\pi x – 10\pi t) \, \text{m} \]
Conclusion :
L’équation de l’onde est \(y(x,t) = 0.05 \sin (\pi x – 10\pi t)\).
4. Positions des Nœuds et Ventres
Sur une corde fixée à une extrémité et libre à l’autre :
- Nœuds (points immobiles) : positions où l’amplitude est nulle, espacés de \(\frac{\lambda}{2}\)
- Ventres (points d’amplitude maximale) : positions entre deux nœuds, espacés de \(\frac{\lambda}{2}\).
Données :
- Longueur de la corde : \(L = 20 \, \text{m}\)
- \(\lambda = 2 \, \text{m}\)
Positions des nœuds :
\[ x_{\text{nœud}} = n \times \frac{\lambda}{2} \] avec \[ n = 0, 1, 2, \ldots, \left\lfloor \frac{2L}{\lambda} – 1 \right\rfloor \]
\[ x_{\text{nœud}} = 0, 1, 2, \ldots, 19 \, \text{m} \]
Positions des ventres :
\[ x_{\text{ventre}} = (n + 0.5) \times \frac{\lambda}{2} \] avec \[ n = 0, 1, 2, \ldots, \left\lfloor \frac{2L}{\lambda} – 1 \right\rfloor \]
\[ x_{\text{ventre}} = 0.5, 1.5, 2.5, \ldots, 19.5 \, \text{m} \]
Conclusion :
- Nœuds tous les 1 m à partir de l’extrémité fixe (0 m).
- Ventres à mi-chemin entre les nœuds (0.5 m, 1.5 m, …, 19.5 m).
5. Effet d’une Augmentation de Fréquence
La vitesse \(v\) dépend de la tension de la corde, qui reste constante. Si \(f\) augmente, la longueur d’onde \(\lambda\) diminue selon :
\[ \lambda_{\text{nouveau}} = \frac{v}{f_{\text{nouveau}}} \]
Données :
- \(v = 10 \, \text{m/s} \text{ (inchangée)}\)
- \(f_{\text{nouveau}} = 10 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \lambda_{\text{nouveau}} = \frac{10}{10} = 1 \, \text{m} \]
Conclusion :
La longueur d’onde devient \(1 \, \text{m}\). La fréquence double entraîne une division par 2 de \(\lambda\).
Onde Mécanique sur une Corde
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