Voyage interstellaire et relativité restreinte
Contexte : La Relativité RestreinteThéorie développée par Albert Einstein qui décrit la physique du mouvement en l'absence de gravité..
L'humanité rêve de voyages interstellaires. L'exoplanète la plus proche, Proxima Centauri b, orbite autour de notre voisine stellaire Proxima du Centaure. Pour atteindre ces destinations lointaines, un vaisseau doit approcher la vitesse de la lumière. À de telles vitesses, les lois de la physique Newtonienne ne suffisent plus et nous devons faire appel à la Relativité Restreinte d'Einstein. Cet exercice explore les conséquences fascinantes de cette théorie sur un voyage spatial.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier deux des effets les plus célèbres de la relativité : la dilatation du tempsPhénomène où le temps s'écoule plus lentement pour un observateur en mouvement par rapport à un observateur immobile. et la contraction des longueursPhénomène où la longueur d'un objet en mouvement apparaît plus courte dans la direction de son mouvement..
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le facteur de Lorentz pour une vitesse donnée.
- Appliquer la formule de la dilatation du temps pour comparer la durée d'un voyage depuis deux référentiels différents.
- Appliquer la formule de la contraction des longueurs pour déterminer une distance perçue.
- Comparer l'énergie cinétique classique et relativiste et comprendre l'implication pour les voyages à grande vitesse.
Données de l'étude
Fiche Technique de la Mission
Schéma de la mission Orion
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Terre - Proxima Centauri b (référentiel terrestre) | \(d_0\) | 4,24 | Années-lumière (a.l.) |
| Vitesse du vaisseau Orion | \(v\) | 0,99 * c | - |
| Masse du vaisseau Orion | \(m\) | 100 000 | kg |
| Célérité de la lumière dans le vide | \(c\) | \(3,00 \times 10^8\) | m/s |
Questions à traiter
- Calculer la durée du voyage pour un observateur resté sur Terre.
- Calculer la durée du voyage du point de vue des astronautes à bord du vaisseau Orion.
- Quelle distance les astronautes ont-ils l'impression d'avoir parcourue ?
- Calculer l'énergie cinétique du vaisseau en utilisant la formule classique, puis la formule relativiste. Conclure.
Les bases de la Relativité Restreinte
La théorie d'Einstein repose sur deux postulats : 1) Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens. 2) La vitesse de la lumière dans le vide est une constante universelle, indépendante du mouvement de la source.
1. Facteur de Lorentz (\( \gamma \))
Ce facteur est crucial et mesure l'intensité des effets relativistes. Il dépend de la vitesse \(v\) et est toujours supérieur ou égal à 1.
\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \]
2. Dilatation du Temps et Contraction des Longueurs
Le temps mesuré dans le référentiel en mouvement (temps propre, \(\Delta t_0\)) est plus court que le temps mesuré par un observateur extérieur (\(\Delta t\)). La longueur d'un objet en mouvement (\(L\)) est plus courte que sa longueur au repos (\(L_0\)).
\[ \Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0 \quad \text{et} \quad L = \frac{L_0}{\gamma} \]
3. Énergie Cinétique Relativiste
L'énergie cinétique d'un objet de masse \(m\) à la vitesse \(v\) n'est pas \(\frac{1}{2}mv^2\) mais :
\[ E_c = (\gamma - 1) m c^2 \]
Correction : Voyage interstellaire et relativité restreinte
Question 1 : Calculer la durée du voyage pour un observateur resté sur Terre.
Principe
Pour un observateur sur Terre, le vaisseau parcourt une distance connue (\(d_0\)) à une vitesse connue (\(v\)). Nous pouvons donc utiliser la relation de base de la cinématique, car la distance et la vitesse sont définies dans le même référentiel (celui de la Terre).
Mini-Cours
En physique, un référentiel est un système de coordonnées par rapport auquel on décrit le mouvement. Un référentiel est dit inertiel (ou galiléen) s'il est en mouvement rectiligne uniforme ou au repos. La Terre peut être approximée comme un référentiel inertiel pour cet exercice.
Remarque Pédagogique
Il est toujours bon de commencer par la situation la plus simple. Ici, le point de vue de la Terre est "classique" : on a une distance et une vitesse, on cherche un temps. Les complexités relativistes apparaîtront en changeant de point de vue.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire au sens de l'ingénierie ici. Les "règles du jeu" sont les postulats et les équations de la relativité restreinte, qui sont les lois fondamentales de la physique à grande vitesse.
Formule(s)
Relation vitesse-distance-temps
Hypothèses
Nous faisons les hypothèses suivantes :
- Le vaisseau atteint sa vitesse de croisière (\(0.99c\)) instantanément et la maintient constante. Les phases d'accélération et de décélération sont négligées.
- Le trajet se fait en ligne droite.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance Terre - Proxima b | \(d_0\) | 4,24 | a.l. |
| Vitesse du vaisseau | \(v\) | 0,99 c | - |
Astuces
Utiliser l'année-lumière comme unité de distance simplifie grandement les calculs lorsque la vitesse est donnée en fonction de \(c\). Une année-lumière est \(1 \text{ a.l.} = c \times 1 \text{ an}\). Le facteur \(c\) se simplifie donc numériquement, laissant un résultat directement en années.
Schéma (Avant les calculs)
Trajet Terre - Proxima b
Calcul(s)
Application numérique et simplification
Résultat du calcul
Schéma (Après les calculs)
Ligne de temps (Observateur Terrestre)
Réflexions
Pour un observateur terrestre, le voyage dure un peu plus longtemps que le temps que mettrait la lumière à faire le trajet (4,24 ans), ce qui est logique puisque le vaisseau va légèrement moins vite que la lumière.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre cette durée, mesurée dans le référentiel "fixe" de la Terre, avec la durée vécue par les astronautes, qui sera différente en raison des effets relativistes.
Points à retenir
La formule de base \(t = d/v\) est parfaitement valide tant que toutes les grandeurs (\(t\), \(d\), et \(v\)) sont mesurées dans le même référentiel inertiel.
Le saviez-vous ?
Proxima Centauri b est une exoplanète bien réelle, découverte en 2016. Elle est considérée comme potentiellement rocheuse et se situe dans la "zone habitable" de son étoile, ce qui en fait une cible fascinante pour la recherche de vie extraterrestre.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le vaisseau ne voyageait qu'à 50% de la vitesse de la lumière (\(v=0,5c\)), combien de temps durerait le voyage pour l'observateur terrestre ?
Question 2 : Calculer la durée du voyage du point de vue des astronautes.
Principe
C'est le cœur du phénomène de dilatation du temps. Le temps ne s'écoule pas à la même vitesse pour les astronautes en mouvement et pour les observateurs sur Terre. La durée mesurée par les astronautes dans leur propre vaisseau est le "temps propre" (\(\Delta t_0\)). Cette durée est plus courte que celle mesurée depuis la Terre.
Mini-Cours
Le temps propre (\(\Delta t_0\)) est le temps mesuré par une horloge dans son propre référentiel (ici, l'horloge du vaisseau). Le temps mesuré par un observateur externe (\(\Delta t\)) est toujours plus long. La formule qui les relie est \(\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0\).
Remarque Pédagogique
Imaginez que chaque tic-tac de l'horloge des astronautes est "étiré" du point de vue de la Terre. Pour un certain nombre de tic-tac à bord, beaucoup plus de temps se sera écoulé sur Terre. C'est pourquoi les astronautes vieillissent moins vite.
Normes
Les équations de la relativité restreinte sont les lois fondamentales qui régissent l'espace-temps. Elles ont été validées par d'innombrables expériences et sont la "norme" pour la physique des hautes vitesses.
Formule(s)
Facteur de Lorentz
Formule de la dilatation du temps
Hypothèses
L'horloge du vaisseau est une horloge idéale qui mesure parfaitement le temps qui s'écoule dans son propre référentiel inertiel.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Durée mesurée sur Terre | \(\Delta t_{\text{Terre}}\) | 4,28 | ans |
| Vitesse du vaisseau | \(v\) | 0,99 c | - |
Astuces
Le facteur de Lorentz \(\gamma\) est toujours supérieur ou égal à 1. Puisque \(\Delta t_{\text{vaisseau}} = \Delta t_{\text{Terre}} / \gamma\), cela vous garantit que la durée pour le voyageur est toujours plus courte ou égale à celle de l'observateur fixe. C'est une bonne façon de vérifier votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des horloges
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du facteur de Lorentz \(\gamma\)
Substitution des valeurs
Calcul intermédiaire
Résultat pour gamma
Étape 2 : Calcul de la durée pour les astronautes
Application numérique
Pour convertir en mois : \(0,604 \text{ an} \times 12 \text{ mois}/\text{an} \approx 7,25 \text{ mois}\).
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des durées de voyage
Réflexions
Ce résultat est l'un des plus étranges et fascinants de la physique. Alors que près de 4 ans et 3 mois se sont écoulés sur Terre, les astronautes n'ont vieilli que d'environ 7 mois. C'est la base du célèbre "paradoxe des jumeaux".
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser \(\Delta t\) et \(\Delta t_0\). Rappelez-vous que le temps est "dilaté" (allongé) pour l'observateur extérieur. Le temps propre (celui des voyageurs) est donc toujours la durée la plus courte !
Points à retenir
- Le temps n'est pas absolu. Son écoulement dépend du référentiel de l'observateur.
- La durée la plus courte entre deux événements est toujours le temps propre (\(\Delta t_0\)), mesuré dans le référentiel où les événements se produisent au même endroit.
Le saviez-vous ?
La dilatation du temps n'est pas de la science-fiction ! Les horloges atomiques des satellites GPS, qui se déplacent rapidement par rapport à nous, doivent être corrigées en permanence pour tenir compte des effets de la relativité restreinte (et générale). Sans ces corrections, le GPS deviendrait imprécis de plusieurs kilomètres chaque jour !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le facteur de Lorentz était de 2 (vitesse d'environ 0,866c), quelle serait la durée du voyage pour les astronautes ?
Question 3 : Quelle distance les astronautes ont-ils l'impression d'avoir parcourue ?
Principe
Tout comme le temps, l'espace est relatif. Pour les astronautes en mouvement, la distance qui les sépare de leur destination apparaît plus courte que pour un observateur fixe. C'est le phénomène de contraction des longueurs.
Mini-Cours
La contraction des longueurs est une conséquence directe de la dilatation du temps. Du point de vue des astronautes, c'est l'univers (y compris la distance Terre-Proxima b) qui se déplace vers eux à 0.99c. Puisque leur temps est "ralenti" par rapport à la Terre, la distance qu'ils mesurent doit être "raccourcie" pour que la vitesse de l'univers par rapport à eux soit cohérente.
Remarque Pédagogique
La contraction ne se produit que dans la direction du mouvement. Si le vaisseau mesurait 100m de long et 20m de large, un observateur terrestre le verrait comme étant plus court que 100m, mais toujours avec une largeur de 20m.
Normes
Les équations de transformation de Lorentz, qui généralisent celles de la dilatation du temps et de la contraction des longueurs, sont la base mathématique de la relativité restreinte.
Formule(s)
Formule de la contraction des longueurs
Hypothèses
La mesure de la distance est effectuée le long de l'axe de déplacement du vaisseau.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance propre | \(d_0\) | 4,24 | a.l. |
| Facteur de Lorentz | \(\gamma\) | 7,089 | - |
Astuces
Puisque \(\gamma \ge 1\), la distance mesurée par le voyageur (\(d\)) sera toujours plus courte que la distance propre (\(d_0\)). C'est un moyen simple de vérifier le sens de votre calcul. Si vous trouvez une distance plus grande, vous avez probablement multiplié au lieu de diviser.
Schéma (Avant les calculs)
Perception de la distance
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des distances
Réflexions
Du point de vue des astronautes, non seulement le temps de voyage est plus court, mais la distance à parcourir est elle-même réduite ! On peut vérifier la cohérence de ce résultat : pour les astronautes, le voyage dure \(\Delta t_{\text{vaisseau}} \approx 0,604 \text{ an}\) à une vitesse de \(0,99c\). La distance qu'ils calculent est donc :
Vérification de la cohérence
Le résultat est bien cohérent.
Points de vigilance
Ne confondez pas la longueur propre (\(d_0\)), qui est la plus grande et mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos (ici, le segment Terre-Proxima b est au repos par rapport à la Terre), et la longueur contractée, mesurée par un observateur en mouvement par rapport à l'objet.
Points à retenir
L'espace n'est pas absolu. La distance entre deux points dépend du référentiel de mesure. Pour un observateur en mouvement, les distances dans la direction du mouvement apparaissent contractées.
Le saviez-vous ?
Les muons sont des particules instables créées dans la haute atmosphère. Leur durée de vie est si courte qu'ils ne devraient pas avoir le temps d'atteindre le sol. Pourtant, on les détecte. Du point de vue terrestre, leur temps de vie est dilaté, leur permettant de voyager plus loin. De leur propre point de vue, la distance à parcourir jusqu'au sol est contractée, leur permettant de l'atteindre avant de se désintégrer.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le facteur de Lorentz était de 2, quelle serait la distance perçue par les astronautes ?
Question 4 : Calculer l'énergie cinétique du vaisseau.
Principe
L'énergie nécessaire pour accélérer un objet à une vitesse proche de 'c' est colossale. La formule classique (\(E_c = \frac{1}{2}mv^2\)) sous-estime radicalement cette énergie. La formule relativiste montre que l'énergie tend vers l'infini à mesure que \(v\) approche \(c\), expliquant pourquoi il est impossible de dépasser la vitesse de la lumière.
Mini-Cours
L'équation la plus célèbre d'Einstein, \(E=mc^2\), décrit l'énergie au repos d'un objet. L'énergie totale d'un objet en mouvement est \(E = \gamma mc^2\). L'énergie cinétique est l'énergie due au mouvement, c'est donc la différence entre l'énergie totale et l'énergie au repos : \(E_c = E_{\text{totale}} - E_{\text{repos}} = \gamma mc^2 - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2\).
Remarque Pédagogique
Cette question met en lumière la différence la plus spectaculaire entre la physique classique et la relativité. Elle illustre un défi technologique majeur pour le voyage interstellaire : la quantité d'énergie requise est bien au-delà de nos capacités actuelles.
Normes
Les calculs d'énergie dans les accélérateurs de particules, comme au CERN, reposent entièrement sur la formule de l'énergie relativiste. La physique classique donnerait des résultats complètement faux.
Formule(s)
Formule Classique
Formule Relativiste
Hypothèses
La masse du vaisseau est considérée comme constante. En réalité, un vaisseau propulsé par fusée éjecterait de la masse, mais nous ignorons cet effet pour ce calcul d'énergie cinétique.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du vaisseau | \(m\) | \(10^5\) | kg |
| Vitesse du vaisseau | \(v\) | \(0,99 c\) | - |
| Célérité de la lumière | \(c\) | \(3 \times 10^8\) | m/s |
| Facteur de Lorentz | \(\gamma\) | 7,089 | - |
Astuces
Pour les faibles vitesses (\(v \ll c\)), on peut montrer que la formule relativiste \((\gamma - 1)mc^2\) se simplifie et devient quasiment égale à la formule classique \(\frac{1}{2}mv^2\). C'est pourquoi la physique de Newton fonctionne si bien dans notre vie de tous les jours !
Schéma (Avant les calculs)
Énergie Cinétique en fonction de la Vitesse
Calcul(s)
Étape 1 : Vitesse en m/s
Énergie cinétique classique
Énergie cinétique relativiste
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Énergies Cinétiques
Réflexions
L'énergie cinétique réelle (relativiste) est plus de 12 fois supérieure à l'énergie prédite par la mécanique classique ! Cette différence est énorme et illustre pourquoi la physique classique n'est pas applicable à ces vitesses. L'énergie requise est monumentale, équivalente à la consommation mondiale d'énergie de plusieurs années.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser des unités du Système International (mètres, kilogrammes, secondes) pour tous les calculs d'énergie afin d'obtenir un résultat en Joules. N'oubliez pas de mettre la vitesse au carré dans les deux formules !
Points à retenir
- L'énergie cinétique croît de manière exponentielle à l'approche de la vitesse de la lumière.
- Il faudrait une quantité d'énergie infinie pour qu'un objet massif atteigne la vitesse de la lumière, ce qui est physiquement impossible.
Le saviez-vous ?
Dans les grands accélérateurs de particules comme le Grand collisionneur de hadrons (LHC) au CERN, les protons sont accélérés à 99,9999991% de la vitesse de la lumière. Leur facteur de Lorentz dépasse 7000 ! À cette vitesse, leur énergie cinétique est des milliers de fois supérieure à leur énergie de masse au repos.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'énergie cinétique relativiste pour le même vaisseau si sa vitesse n'était que de 0.1c (\(\gamma \approx 1,005\)). Comparez-la à la valeur classique.
Outil Interactif : Simulateur de Relativité
Déplacez le curseur pour changer la vitesse du vaisseau et observez les effets de la relativité restreinte en temps réel.
Paramètres
Résultats Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si un vaisseau voyage à 99% de la vitesse de la lumière, comment le temps s'écoule-t-il pour ses passagers par rapport à la Terre ?
2. Que devient le facteur de Lorentz (\(\gamma\)) lorsque la vitesse \(v\) d'un objet s'approche de \(c\) ?
3. Un astronaute voyageant à une vitesse relativiste mesure la distance jusqu'à une étoile. Comment cette distance se compare-t-elle à celle mesurée depuis la Terre ?
4. Quelle est la principale raison pour laquelle il est impossible pour un objet avec une masse d'atteindre la vitesse de la lumière ?
5. Le "temps propre" (\(\Delta t_0\)) est...
Glossaire
- Année-lumière (a.l.)
- Unité de distance correspondant à la distance parcourue par la lumière dans le vide en une année julienne (365,25 jours).
- Contraction des longueurs
- Phénomène prédit par la relativité restreinte où la longueur d'un objet en mouvement est mesurée comme étant plus courte que sa longueur propre (la longueur dans le référentiel de l'objet).
- Dilatation du temps
- Différence de temps écoulé mesurée par deux observateurs, due à une différence de vitesse relative ou à une différence de potentiel gravitationnel.
- Facteur de Lorentz (\(\gamma\))
- Formule qui détermine le changement de mesure du temps, de la longueur et d'autres propriétés physiques pour un objet en mouvement.
- Relativité Restreinte
- Théorie publiée par Albert Einstein en 1905 qui décrit la physique de l'espace et du temps en l'absence de gravitation.
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